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{{NoteTA
|G1 = Math
|1 = zh-cn:域; zh-tw:體;
}}
{{環論|交換}}
在[[抽象代数]]之分支[[环论]]中，一个'''交换环'''（{{lang|en|commutative ring}}）是乘法运算满足[[交换律]]的环。对交换环的研究称为[[交换代数]]学。 

某些特定的交换环在下列[[子类 (集合论)|类包含]]链中：

* '''交换环''' ⊃ [[整环]] ⊃ [[惟一分解整环]] ⊃ [[主理想整环]] ⊃ [[欧几里得整环]] ⊃ [[域 (數學)|域]]

== 定义与例子 ==
=== 定义 ===
{{Details|环 (代数)}}

一个带有两个[[二元运算]]的[[集合 (数学)|集合]] ''R'' 是环，即将环中的任意两个元素变为第三个的运算。他们称为加法与乘法，通常记作 + 与 ⋅ ，例如 ''a'' + ''b'' 与 ''a'' ⋅ ''b''。为了形成一个群这两个运算需满足一些性质：环在加法下是一个[[阿贝尔群]]，在乘法下为一个[[幺半群]]，使得乘法对加法有[[分配律]]，即 ''a'' ⋅ (''b'' + ''c'') = (''a'' ⋅ ''b'') + (''a'' ⋅ ''c'')。关于加法与乘法的单位元素分别记作 0 和 1。

另外如果乘法也是交换的，即
:''a'' ⋅ ''b'' = ''b'' ⋅ ''a''，
环 ''R'' 称为交换的。除非另有特别声明，下文中所有环假设是交换的。

=== 例子 ===

一个重要的例子，在某种意义下是最关键的，是带有加法与乘法两个运算的[[整数|整数环]] '''Z'''。因为整数乘法是一个交换运算，这是一个交换环。通常记作 '''Z'''，是[[德语]]词 ''Zahlen''（数）的缩写。

一个[[體論|域]]是每个[[非零]]元素 ''a'' 是可逆的交换环，即有一个乘法逆 ''b'' 使得 ''a'' ⋅ ''b'' = 1。从而，由定义知任何域是一个交换环。[[有理数]]、[[实数]]、[[复数 (数学)|复数]]都是域。

2×2 的[[矩阵]]不是交换的，因为[[矩阵乘法]]不满足交换律，如下例所示：
:<math>\begin{bmatrix}
1 & 1\\
0 & 1\\
\end{bmatrix}\cdot
\begin{bmatrix}
1 & 1\\
1 & 0\\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
2 & 1\\
1 & 0\\
\end{bmatrix}
</math>，不等于 <math>\begin{bmatrix}
1 & 1\\
1 & 0\\
\end{bmatrix}\cdot
\begin{bmatrix}
1 & 1\\
0 & 1\\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
1 & 2\\
1 & 1\\
\end{bmatrix}.
</math>
但是，能被相同的[[相似矩阵|相似变换]][[可对角化矩阵|对角化]]的矩阵形成一个交换环。一个例子是关于一个固定节点集合[[差商#矩阵形式|差商]]的矩阵集合。

如果 ''R'' 是一个给定的交换环，关于变量 ''X'' 系数位于 ''R'' 中的所有[[多项式]]形成一个[[多项式环]]，记作 ''R''[''X'']。对多个变量同样成立。

如果 ''V'' 是某个[[拓扑空间]]，例如某个 '''R'''<sup>''n''</sup> 的子集，''V'' 上实值或复值[[连续函数]]形成一个交换环。同样对[[可微函数]]或[[全纯函数]]也对，只要两者有定义，比如 ''V'' 是一个[[复流形]]。

== 理想与谱 ==
{{hatnote|下文中，''R'' 表示一个交换环}}
和域中每个非零元素是乘法可逆不同，环的理论更复杂。有多个概念处理这种情形。首先，''R'' 的一个元素如果有乘法逆称之为[[单位 (代数)|单位]]。另一种特别的元素类型是[[零因子]]，即非零元素 ''a'' 使得存在环中一个非零元素 ''b'' 使得 ''ab''=0。如果 ''R'' 没有零因子，称为[[整环]]，因为在很多方面像整数。

下列许多概念对非交换环也存在，但定义与性质一般更加复杂。例如，交换环中所有理想自动是[[双边理想|双边]]的，相当简化了情形。

=== 理想与商环 ===
{{Main|理想 (环论)|l1=理想|商环}}

交换环的内部结构通过考虑它的理想来确定，即在与环中任何元素相乘以及加法下封闭的[[非空]][[子集]] ''I''：对所有 ''r'' 属于 ''R''，''i'' 与 ''j'' 属于 ''I''，''ri'' 与 ''i''+''j'' 都要求属于 ''I''。给定 ''R'' 的任何子集 ''F'' = {''f''<sub>''j''</sub>}<sub>''j'' ∈ ''J''</sub>（这里 ''J'' 是某个指标集），由 ''F'' 生成的理想是最小的包含 ''F'' 的理想。等价地，它有有限[[线性组合]]给出
:''r''<sub>1</sub>''f''<sub>1</sub> + ''r''<sub>2</sub>''f''<sub>2</sub> + ... + ''r''<sub>''n''</sub>''f''<sub>''n''</sub>。
由一个元素生成的理想叫做[[主理想]]。若环中所有理想都是主理想称为[[主理想环]]，两个重要的情形是 '''Z''' 与一个域 ''k'' 上的多项式环 ''k''['''X''']。任何环有两个理想，[[零理想]] { 0 } 与整个环 ''R''。不包含于任何真理想（即 ≠''R''）的理想称为[[极大理想|极大]]的。<cite id=characterisaion_of_maximal_ideals>一个理想 ''m'' 是极大的[[当且仅当]] ''R'' / ''m'' 是一个域。</cite><cite id=existence_of_maximal_ideals>任何环至少有一个极大理想，这可由与[[选择公理]]等价的[[佐恩引理]]得出。</cite>

理想的定义使得“除以” ''I'' 中的元素给出另一个环，商环 ''R'' / ''I''：它是 ''I'' 的[[陪集]]，两个运算为
:(''a'' + ''I'') + (''b'' + ''I'') = (''a'' + ''b'') + I and (''a'' + ''I'')(''b'' + I'') = ''ab'' + ''I''。 
例如，环 '''Z'''/''n'''''Z'''（也记作 '''Z'''<sub>''n''</sub>），其中 ''n'' 是一个整数，是整数模 ''n'' 环。它是[[模算术]]的基础。

=== 局部化 ===
{{Main|环的局部化}}

一个环的局部化是商环的对立面，在商环 ''R'' /''I'' 中某些元素（''I'' 中的元素）变为零，而在局部化中某些元素变为可逆的，即乘法逆添进环中。具体的，如果 ''S'' 是 ''R'' 的一个[[乘法闭子集]]（即只要 ''s'' 与 ''t'' ∈ ''S'' 则 ''st'' ∈ ''S''）在 ''R'' 在 ''S'' 处的局部化，或分母在 ''S'' 中的分式环，通常记作 ''S''<sup>−1</sup>''R'' 由符号
:<math>\frac{r}{s}</math> 其中 ''r'' ∈ ''R'', ''s'' ∈ ''S''
组成，满足与有理数的约分类似的法则。事实上，在这种语言中 '''Q''' 是 '''Z''' 在所有非零整数的局部化。此构造对所有整环 ''R'' 也成立。如果 ''S'' 由一个固定元素 ''f'' 的所有幂组成，局部化写成  ''R''<sub>''f''</sub>。

=== 素理想与谱 ===
{{Main|素理想|环的谱}}

一类特别重要的理想叫做素理想，通常记作 ''p''。此概念源于19世纪代数学家们意识到，不像 '''Z'''，在许多环中没有[[算术基本定理|素数惟一分解]]（有此性质的环称为[[惟一分解整环]]）。由定义，素理想是一个真理想使得只要环中任何两个元素 ''a'' 与 ''b'' 的乘积 ''ab'' 属于 ''p''，则 ''a'' 与 ''b'' 中至少有一个已属于 ''p''。（相反的结论由定义对任何理想成立）。等价地，商环 ''R'' / ''p'' 是一个整环。另一种表述是说[[补集]] ''R'' \ ''p'' 是乘法封闭的。局部化 (''R'' \ ''p'')<sup>−1</sup>''R'' 足以重要到赋以单独的记号：''R''<sub>''p''</sub>。这个环只有一个极大理想，即 ''pR''<sub>''p''</sub>。这样的环称为[[局部环]]。

由[[#characterisaion of maximal ideals|上]]所述，任何极大理想都是素理想。证明一个理想是素的，或等价的一个环没有零因子可能非常困难。 

[[File:Spec_Z.png|right|400px|thumb|'''Z''' 的谱。]]

素理想是几何地理解一个环的关键步骤，通过环的谱 ''Spec R''：它是 ''R'' 的所有素理想集合<ref group=nb>此概念可以与一个线性算子的[[算子的谱|谱]]联系起来，参见[[C*-代数的谱]]与[[盖尔范德表示]]</ref>。[[#existence of maximal ideals|上]]已提到，至少有一个素理想，从而谱非空。如果 ''R'' 是一个域，惟一的素理想是零理想，从而谱只有一个点。但 '''Z''' 的谱，包含零理想的一个点，以及任何素数 ''p''（生成素理想 ''p'''''Z'''）的一个点。谱赋以一个拓扑叫[[扎里斯基拓扑]]，这由将子集 ''D''(''f'') = {''p'' ∈ ''Spec R'', ''f'' ∉ ''p''} 设定为开集确定，这里 ''f'' 是任何环元素。此拓扑与[[分析]]或[[微分几何]]中遇到的可能不同；例如，一般地存在点不是闭的。譬如，[[泛点|对应于零理想的点]] 0 ⊂ '''Z''' 的[[闭包 (数学)|闭包]]，是整个 '''Z''' 的谱。

谱的概念是交换代数与[[代数几何]]的公共基石。代数几何将 ''Spec R'' 赋予一个[[层 (数学)|层]] <math>\mathcal O</math>（将不同的开子集上局部定义的所有函数收集起来的实体）。此空间与层的数据称为一个[[仿射概形]]。给定一个仿射概形，底环 ''R'' 可作为 <math>\mathcal O</math> 的[[整体截面]]重新得到。而且，已建立起来的环与放射概形之间的一一对应也与环同态相容：任何 ''f'' : ''R'' → ''S'' 得出一个方向相反的[[连续映射]]
:''Spec S'' → ''Spec R'', ''q'' ↦ ''f''<sup>−1</sup>(''q'')，即 ''S'' 的任何素理想映到在 ''f'' 下的[[原像]]，这是 ''R'' 的一个素理想。
谱也使局部化和商环是互补的直觉确切化：自然映射 ''R'' → ''R''<sub>''f''</sub> 与 ''R'' → ''R'' / ''fR'' 分别对应于，将环的谱赋以他们的扎里斯基拓扑后，互补的[[开嵌入|开]]、[[闭嵌入]]。

总之所说的这两个范畴的[[范畴的等价|等价]]反应了环的代数性质以几何方式表现出来。[[流形]]局部由 '''R'''<sup>''n''</sup> 给出，与之类似，仿射概形的局部模型是[[概形]]，这是代数几何中研究的对象。从而，环与同态中许多概念都源于几何直觉。

== 环同态 ==
{{Main|环同态}}
与通常代数学中一样，两个对象之间的一个保持对象的结构的函数 ''f'' 无疑称为[[同态]]。在环的情形中，环同态是一个映射 ''f'' : ''R'' → ''S'' 使得
:''f''(''a'' + ''b'') = ''f''(''a'') + ''f''(''b''), ''f''(''ab'') = ''f''(''a'')''f''(''b'') 且 ''f''(1) = 1。
这些条件保证 ''f''(0) = 0，但保持乘法单位元素 1 的要求不能从其它两条性质推出。在这种情形下 ''S'' 也成为一个 ''R''-代数，理解为 ''S'' 中 ''s'' 可以被 ''R'' 中 ''r'' 乘，通过令
:''r'' · ''s'' := ''f''(''r'') · ''s''。

''f'' 的核与像定义为 ker (''f'') = {''r'' ∈ ''R'', ''f''(''r'') = 0} 与 im (''f'') = ''f''(''R'') = {''f''(''r''), ''r'' ∈ ''R''}。核与像分别是 ''R'' 与 ''S'' 的[[子环]]。

== 模 ==
{{Main|模}}
交换代数的外部结构由考虑这个环上的[[线性代数]]确定，即研究它的[[模]]理论，这与[[向量空间]]类似，除了底不必是一个域而可以为任何环 ''R''。''R''-模的理论比向量空间的线性代数要复杂得多。模理论必须处理一些困难比如模没有基，[[自由模的秩]]（即向量空间的维数之类比）可能不是[[良好定义]]的，有限生成模的子模不必是有限生成的（除非 ''R'' 是诺特环，[[#submodules of f g modules|见下]]）。

环 ''R'' 中的理想可以视为 ''R''-模，也是 ''R'' 的子模。另一方面，欲很好的理解 ''R''-模必须知道 ''R'' 足够信息。然而反过来，交换代数中通过考虑 ''R'' 的理想研究其结构的许多技巧，一般对研究模也成立。

== 诺特环 ==
{{Main|诺特环}}

一个环称为诺特环（为了纪念[[埃米·诺特]]，她发展了这个概念），如果[[升链条件|理想的升链]]
:0 ⊆ ''I''<sub>0</sub> ⊆ ''I''<sub>1</sub>  ... ⊆ ''I''<sub>''n''</sub> ⊆ ''I''<sub>''n'' + 1</sub> ⊆ ...
成为稳定的，即某个指标 ''n'' 后变成常值。等价地，任何理想由有限多个元素生成，或同样等价地<cite id=submodules_of_f_g_modules>有限生成模的[[子模]]是有限生成的</cite>。一个环称为[[阿廷环]]（以[[埃米尔·阿廷]]命名），如果任何理想的降链
:''R'' ⊇ ''I''<sub>0</sub> ⊇ ''I''<sub>1</sub>  ... ⊇ ''I''<sub>''n''</sub> ⊇ ''I''<sub>''n'' + 1</sub> ⊇ ...
最终变成稳定的。尽管这两个条件对称的出现，诺特环比阿廷环更一般。例如，'''Z''' 是诺特的，因为任何理想可由一个元素生成，但不是阿廷环，比如有降链
:'''Z''' ⊋ 2'''Z''' ⊋ 4'''Z''' ⊋ 8'''Z''' ⊋ ...。
事实上，每个阿廷环是诺特环。

诺特环是一个特别重要的有限性条件。此条件在几何中经常出现的许多运算下保持：如果 ''R'' 是诺特环，则多项式环 {{nowrap|''R''[''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ..., ''X''<sub>''n''</sub>]}}（由[[希尔伯特基定理]]）、任何局部化 ''S''<sup>−1</sup>''R'' 以及商环 ''R'' / ''I'' 都是诺特环。

== 维数 ==
{{Main|克鲁尔维数}}

一个环 ''R'' 的克鲁尔维数（或简称维数）dim ''R'' 是衡量环的“大小”的一个概念，非常粗略地说是数 ''R'' 中无关元素。准确地说，它定义为谱中素理想链的长度 ''n''
:0 ⊆ ''p''<sub>0</sub> ⊆ ''p''<sub>1</sub> ⊆ ... ⊆ ''p''<sub>''n''</sub>。
例如，一个域是零维的，因为惟一的理想是零理想。一个环是阿廷环当且仅当它是诺特环且是零维的（即其素理想都是极大理想）。整数是 1 维的：任何素理想链具有形式
:0 = ''p''<sub>0</sub> ⊆ ''p'''''Z''' = ''p''<sub>1</sub>，这里 ''p'' 是一个[[素数]]
因为 '''Z''' 中任何理想都是主理想。

如果考虑的环是诺特环，维数表现良好：期待的不等式在这种情形下成立
:dim ''R''[''X''] = dim ''R'' + 1，
（一般地只有 dim ''R'' + 1 ≤ dim ''R''[''X''] ≤ 2 · dim ''R'' + 1）。另外，维数只取决于一个极大链，''R'' 的维数是其所有局部化 ''R''<sub>''p''</sub> 的维数的[[上确界]]，这里 ''p'' 是任意一个素理想。直觉上，''R'' 的维数是 ''R'' 谱的一个局部性质。所以，维数经常只对局部环考虑，也因为一般的诺特环仍有可能是无限维，尽管它所有局部化是有限维的。

确定
:''k''[''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ..., ''X''<sub>''n''</sub>] / (''f''<sub>1</sub>, ''f''<sub>2</sub>, ..., ''f''<sub>''m''</sub>)，其中 ''k'' 是一个域而 ''f''<sub>''i''</sub> 是某个 ''n'' 变量多项式
的维数一般不容易。对诺特环 ''R''，''R''/''I'' 的维数，由[[克鲁尔主理想定理]]，至少是 dim ''R'' − ''n''，如果 ''I'' 由 ''n'' 个元素生成。如果维数不能再小，即 dim ''R'' / ''I'' = dim ''R'' − ''n''，则 ''R'' / ''I'' 称为[[完全交叉]]。

一个局部环 ''R''，即只有一个极大理想 ''m''，称为[[正则局部环|正则]]的，如果 ''R'' 的（克鲁尔）维数等于维数余切空间 ''m'' / ''m''<sup>2</sup>（作为域  ''R'' / ''m'' 上的向量空间）的维数。

有如下更几何化的另一个包含链：
:[[科恩-麦考利环]] ⊃ [[葛仑斯坦环]] ⊃ [[正则环]] ⊃ [[正则局部环]]。

== 构造交换环 ==

有多种方法从给定的环构造出新的。这样构造的目的通常是为了改善环的某种性质使其更易理解。例如，一个整环在其[[分式域]]中[[整闭]]称为[[正规环]]。这是一个值得向往的性质，比如任何正规 1-维环必是正则的。将一个环变为正规的称为[[正规化]]。

=== 完备化 ===
如果 ''I'' 是交换环 ''R'' 中一个理想，''I'' 的幂组成 0 的一个[[邻域|拓扑邻-{域}-]]，这使 ''R'' 可视为一个[[拓扑环]]。这个拓扑称为 [[I-进拓扑|''I''-进拓扑]]。这样 ''R'' 关于这个拓扑可以完备化。形式上，''I''-进拓扑完备化是环 ''R''/''I<sup>n</sup>'' 的[[反向极限]]。例如，如果 ''k'' 是一个域，''k''<nowiki>[[</nowiki>''X''<nowiki>]]</nowiki>，''k'' 上一个变量[[形式幂级数]]环，是 ''k''[''X''] 的 ''I''-进完备化，其中 ''I'' 是由 ''X'' 生成的主理想。类似地，''p''-进整数环是 '''Z''' 的 ''I''-进完备化，其中 ''I'' 是由 ''p'' 生成的主理想。任何同构于它的完备化的环叫做[[完备环|完备]]。

== 性质 ==
由[[韦德伯恩定理]]，任何有限[[除环]]是交换的，从而是一个[[有限域]]。另一个确保一个环的交换性的性质，属于[[内森·雅各布森|雅各布森]]，如下：对任何 ''R'' 中元素 ''r''，存在一个整数 {{nowrap|''n'' > 1}} 使得 {{nowrap|1=''r''<sup>''n''</sup> = ''r''}}<ref>{{Harvard citations|last = Jacobson|year = 1945|nb = yes}}</ref> 如果对每个 ''r'' 有 ''r''<sup>2</sup> = ''r''，环称为[[布尔环]]。确保环的交换性的更一般的条件也为人所知<ref>{{Harvard citations|last = Pinter-Lucke|year = 2007|nb = yes}}</ref>。

== 相关条目 ==
* [[分次环]]

== 注释 ==
<references group=nb/>

=== 引用 ===
<references />

== 参考文献 ==
* {{Citation | last1=Atiyah | first1=Michael | author1-link=Michael Atiyah | last2=Macdonald | first2=I. G. | author2-link=Ian G. Macdonald | title=Introduction to commutative algebra | publisher=Addison-Wesley Publishing Co. | year=1969 }}
* {{Citation | last1=Balcerzyk | first1=Stanisław | last2=Józefiak | first2=Tadeusz | title=Commutative Noetherian and Krull rings | publisher=Ellis Horwood Ltd. | location=Chichester | series=Ellis Horwood Series: Mathematics and its Applications | isbn=978-0-13-155615-7 | year=1989}}
* {{Citation | last1=Balcerzyk | first1=Stanisław | last2=Józefiak | first2=Tadeusz | title=Dimension, multiplicity and homological methods | publisher=Ellis Horwood Ltd. | location=Chichester | series=Ellis Horwood Series: Mathematics and its Applications.  | isbn=978-0-13-155623-2 | year=1989}}
* {{Citation | last1=Eisenbud | first1=David | author1-link=David Eisenbud | title=Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry. | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-94268-1 | id=ISBN 978-0-387-94269-8,{{MathSciNet | id = 1322960}} | year=1995 | volume=150}}
* {{Citation | last1=Jacobson | first1=Nathan | author1-link=Nathan Jacobson | title=Structure theory of algebraic algebras of bounded degree | year=1945 | journal=[[Annals of Mathematics]] | issn=0003-486X | volume=46 | issue=4 | pages=695–707}}
* {{Citation | last1=Kaplansky | first1=Irving | author1-link=Irving Kaplansky | title=Commutative rings | publisher=[[University of Chicago Press]] | edition=Revised | id={{MathSciNet | id = 0345945}} | year=1974}}
* {{Citation | last1=Matsumura | first1=Hideyuki | title=Commutative Ring Theory | publisher=[[Cambridge University Press]] | edition=2nd | series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics | isbn=978-0-521-36764-6 | year=1989}}
* {{Citation | last1=Nagata | first1=Masayoshi | author1-link=Masayoshi Nagata | title=Local rings | publisher=Interscience Publishers  | series=Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics | isbn=978-0-88275-228-0  | id=(1975 reprint){{MR|0155856}} | year=1962 | volume=13 | pages=xiii+234}}
* {{Citation | last1=Pinter-Lucke | first1=James | title=Commutativity conditions for rings: 1950–2005 | doi=10.1016/j.exmath.2006.07.001 | year=2007 | journal=Expositiones Mathematicae | issn=0723-0869 | volume=25 | issue=2 | pages=165–174}}
* {{Citation | last1=Zariski | first1=Oscar | author1-link=Oscar Zariski | last2=Samuel | first2=Pierre | author2-link=Pierre Samuel | title=Commutative algebra | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Graduate Texts in Mathematics | year=1975 | volume=28, 29}}

{{Authority control}}
[[Category:交换代数]]
[[Category:环论]]