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在[[复分析]]中，一个[[复平面]]的[[开集|开子集]]''D''上的'''亚纯函数'''是一个在''D''上除一个或若干个[[孤点]]集合之外的区域[[全纯]]的[[函数]]，且这些孤立点都是该函数的[[极点 (复分析)|极点]]。

每个''D''上的亚纯函数可以表达为两个[[全纯函数]]的比（其分母不恒为0）：极点也就是分母的零点。
[[File:Gamma abs.png|thumb|[[Γ函数]]在整个复平面上亚纯]]

直观的讲，一个亚纯函数是两个性质很好的（全纯）函数的比。这样的函数本身性质也很“好”，除了分式的分母为零的点，那时函数的值为无穷。

从代数的观点来看，如果''D''是一个[[连通空间|连通集]]，则亚纯函数的集合是全纯函数的[[整域]]的[[分式域]]。这和有理数<math> \mathbb{Q}</math>和整数<math> \mathbb{Z}</math>的关系类似。

== 例子 ==
* 所有的[[有理函数]]如
::<math> f(z) = \frac{z^3 - 2z + 1}{z^5 + 3z - 1} </math>
:都是在整个[[复平面]]上的亚纯函数。
* 函数
::<math>\tan z,\,\cot z,\,\sec z,\,\csc z</math>
:都属于亚纯函数。又因为它们都不是有理函数，所以它们也被称为'''超越亚纯函数'''。
* 函数 
::<math> f(z) = \frac{e^z}{z} </math>和<math> f(z) = \frac{\sin z}{(z-1)^2} </math>
:以及[[Γ函数]]和[[黎曼ζ函數]]都是在整个[[复平面]]上的亚纯函数。
* 函数 
::<math> f(z) = e^{\frac{1}{z}}</math>
:在除去原点：0的整个复平面上有定义。但是，0不是这个函数的一个[[极点 (复分析)|极点]]，而是一个[[本性奇点]]。因此，这个函数只是在'''C'''\{0}上的亚纯函数，而不是在整个[[复平面]]上的亚纯函数。
* 函数<math> f(z) = \ln z </math>不是在整个[[复平面]]上的亚纯函数，因为不能通过从复平面去除可数个点而让它变成全纯的。

== 性质 ==
由于亚纯函数的奇点是孤立点，它们至多有[[可数集|可数多个]]。极点的个数可以有无穷多个，例如函数：
: <math> f(z) = \frac{1}{\sin z} </math>

使用[[解析拓延]]来消去[[可去奇点]]后，亚纯函数可以进行加减法和乘法的运算。当<math>g(z)</math>在''D''的[[连通空间|连通部分]]上不恒为零时，还可以定义''f''/''g''。因此，当''D''[[连通空间|连通]]时，所有的亚纯函数构成一个[[体 (数学)|域]]，为[[复数域]]的一个[[域扩张]]。

== 黎曼曲面上的亚纯函数 ==
在一个[[黎曼曲面]]上，每个点都拥有一个[[同构]]于复平面上的一个开子集的开邻域。因此，在任意黎曼曲面上都可以定义亚纯函数。

当''D''为整个[[黎曼球]]时，亚纯函数域就是复平面上的单变量有理函数域，因为可以证明任意黎曼球上的亚纯函数都是有理函数（这是所谓的[[代數幾何與解析幾何|GAGA]]原理的一个特例）。

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For every [[Riemann surface]], a meromorphic function is the same as a holomorphic function that maps to the Riemann sphere and which is not constant ∞. The poles correspond to those complex numbers which are mapped to ∞.

On a non-compact [[Riemann surface]] every meromorphic function can be realized as a quotient of two (globally defined) holomorphic functions. In contrast, on a compact Riemann surface every holomorphic function is constant, while there always exist non-constant meromorphic functions.

Meromorphic functions on an [[elliptic curve]] are also known as [[elliptic function]]s.


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== 参考 ==

* Serge Lang, ''Complex Analysis'', Springer, 2003. ISBN 0-387-98592-1.
* Stein. Complex Analysis.
* Ahlfors. Complex Analysis, 1966.

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