查看“︁五角数”︁的源代码


[[Image:Pentnumbers.svg|500px|前四個五邊形數.]]

'''五邊形數'''是能排成[[五邊形]]的[[多邊形數]]。其概念類似[[三角形數]]及[[平方數]]，不過五邊形數和[[三角形數]]及[[平方數]]不同，所對應的形狀沒有[[旋轉對稱]]（Rotational symmetry）的特性。

第<math>n</math>個五邊形數可用以下公式求得

:<math>p_n = \frac{3n^2-n}{2}</math>

且<math>n>0</math>。

首幾個五邊形數為{{數列|{{exists{{!}}${{!}}no redirect=1}}, |1|20|x*(3*x-1)/2|preprocess=1}}...{{OEIS|id=A000326}}，其奇偶排列是「奇奇偶偶」。

第<math>n</math>個五邊形數是第<math>3n-1</math>個[[三角形數]]的<math>\frac{1}{3}</math>。首<math>n</math>個五邊形數的[[算術平均數]]是第<math>n</math>個三角形數。

==五邊形數測試==
利用以下的公式可以測試一個正整數''x''是否是五邊形數（此處不考慮廣義五邊形數）：

:<math>n = \frac{\sqrt{24x+1} + 1}{6}.</math>

*若n是[[自然數]]，則x是五邊形數，而且恰為第n個五邊形數。
*若n不是[[自然數]]，則x不是五邊形數。

==用五邊形數的和來表示整數==

依照[[費馬多邊形數定理]]，任何整數都可以表示為不超過5個五邊形數的和。但大多數的整數都可以表示不超過3個五邊形數的和<ref name="guy">{{Cite journal|title=Every Number is Expressible as the Sum of How Many Polygonal Numbers?|url=https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/00029890.1994.11996925|last=Guy|first=Richard K.|date=1994-02|journal=The American Mathematical Monthly|issue=2|doi=10.1080/00029890.1994.11996925|volume=101|pages=169–172|language=en|issn=0002-9890}}</ref>。在小於<math>10^6</math>的整數中，只有以下6個整數需用5個五邊形數的和來表示：

9, 21, 31, 43, 55, 89 {{OEIS|A133929}}

==廣義五邊形數==
廣義五邊形數的公式和五邊形數相同，只是n可以為負數和零，n 依序為0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4...，廣義五邊形數也可以用下式表示：

:<math>p_n = \frac{3n^2 \pm n}{2}</math>

n 依序為0, 1, 2, 3, 4...，

其產生的數列如下：

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477, 495, 532, 551, 590, 610, 651, 672, 715, 737, 782, 805, 852, 876, 925, 950, 1001, 1027, 1080, 1107, 1162, 1190, 1247, 1276, 1335... ([[OEIS:A001318]])

在[[歐拉]]的[[整數分拆]]理論中，[[五邊形數定理]]說明廣義五邊形數和[[整數分拆]]的關係。

用第n個五邊形數（n>2）排列組成的正五邊形，外圍點的個數有<math>5(n-1)</math>個，因此在內部的點個數為：

:<math>\frac{3n^2-n}{2} - 5(n-1) = \frac{3n^2-11n+10}{2} = \frac{(3n-5) (n-2)}{2} = \frac{3(n-2)^2+(n-2)}{2}</math>

剛好也是一個廣義五邊形數。

所有的整數都可以表示成不超過3個廣義五邊形數的和<ref name="guy" />。

若三角形數可以被3整除，則[[除以3]]之後的數必為廣義五邊形數<ref>{{Cite book|title=The Book of Numbers|url=https://books.google.com.tw/books?id=0--3rcO7dMYC&pg=PA96|publisher=Springer Science & Business Media|date=1998-03-16|isbn=978-0-387-97993-9|language=en|first=John H.|last=Conway|first2=Richard|last2=Guy|page=96}}</ref>。

==廣義五邊形數和中心六邊形數==

廣義五邊形數和[[中心六邊形數]]有密切的關係。將中心六邊形數以陣列的方式排出，並且從中間將正六邊形分為二個梯形，較大的梯形可以表示為五邊形數，而較小的梯形可以表示為廣義五邊形數，因此中心六邊形數可以表示為二個廣義五邊形數的和（五邊形數也是廣義五邊形數的一種）：

{| 
! 1=1+0 !! !! 7=5+2 !! !! 19=12+7 !! !! 37=22+15
|- align="center" valign="middle"
|[[File:RedDotX.svg|16px|*]]
|
|[[File:RedDotX.svg|16px|*]][[File:RedDotX.svg|16px|*]]<br>[[File:RedDotX.svg|16px|*]][[File:RedDotX.svg|16px|*]][[File:RedDotX.svg|16px|*]]<br>[[File:GrayDotX.svg|16px|*]][[File:GrayDotX.svg|16px|*]]
|
|[[File:RedDotX.svg|16px|*]][[File:RedDotX.svg|16px|*]][[File:RedDotX.svg|16px|*]]<br>[[File:RedDotX.svg|16px|*]][[File:RedDotX.svg|16px|*]][[File:RedDotX.svg|16px|*]][[File:RedDotX.svg|16px|*]]<br>[[File:RedDotX.svg|16px|*]][[File:RedDotX.svg|16px|*]][[File:RedDotX.svg|16px|*]][[File:RedDotX.svg|16px|*]][[File:RedDotX.svg|16px|*]]<br>[[File:GrayDotX.svg|16px|*]][[File:GrayDotX.svg|16px|*]][[File:GrayDotX.svg|16px|*]][[File:GrayDotX.svg|16px|*]]<br>[[File:GrayDotX.svg|16px|*]][[File:GrayDotX.svg|16px|*]][[File:GrayDotX.svg|16px|*]]
|
|[[File:RedDotX.svg|16px|*]][[File:RedDotX.svg|16px|*]][[File:RedDotX.svg|16px|*]][[File:RedDotX.svg|16px|*]]<br>[[File:RedDotX.svg|16px|*]][[File:RedDotX.svg|16px|*]][[File:RedDotX.svg|16px|*]][[File:RedDotX.svg|16px|*]][[File:RedDotX.svg|16px|*]]<br>[[File:RedDotX.svg|16px|*]][[File:RedDotX.svg|16px|*]][[File:RedDotX.svg|16px|*]][[File:RedDotX.svg|16px|*]][[File:RedDotX.svg|16px|*]][[File:RedDotX.svg|16px|*]]<br>[[File:RedDotX.svg|16px|*]][[File:RedDotX.svg|16px|*]][[File:RedDotX.svg|16px|*]][[File:RedDotX.svg|16px|*]][[File:RedDotX.svg|16px|*]][[File:RedDotX.svg|16px|*]][[File:RedDotX.svg|16px|*]]<br>[[File:GrayDotX.svg|16px|*]][[File:GrayDotX.svg|16px|*]][[File:GrayDotX.svg|16px|*]][[File:GrayDotX.svg|16px|*]][[File:GrayDotX.svg|16px|*]][[File:GrayDotX.svg|16px|*]]<br>[[File:GrayDotX.svg|16px|*]][[File:GrayDotX.svg|16px|*]][[File:GrayDotX.svg|16px|*]][[File:GrayDotX.svg|16px|*]][[File:GrayDotX.svg|16px|*]]<br>[[File:GrayDotX.svg|16px|*]][[File:GrayDotX.svg|16px|*]][[File:GrayDotX.svg|16px|*]][[File:GrayDotX.svg|16px|*]]
|}

一般來言：

:<math> 3n(n-1)+1 = \tfrac{1}{2}n(3n-1)+\tfrac{1}{2}(1-n)[3(1-n)-1]</math>

等式右側為二個廣義五邊形數，且第一項是五邊形數(''n'' ≥ 1)。

==參見==
*[[五邊形數定理]]

==參考資料==
*[[:arxiv:math/0505373|Leonard Euler: On the remarkable properties of the pentagonal numbers]]
{{reflist}}

==外部連結==
*[http://matheplanet.com/default3.html?article=277 Pentagon, Kartenhaus und Summenzerlegung]{{Wayback|url=http://matheplanet.com/default3.html?article=277 |date=20200420025442 }}（德文）
{{Commonscat|Pentagonal_numbers}}
{{有形數}}

[[Category:多邊形數及多面體數|5]]