查看“︁五维正轴体”︁的源代码

{{NoteTA|G1=Math}}
{{Infobox polytope
| name = 五维正轴体
| imagename = 5-cube t4.svg
| polytope = 五维正轴体<BR>正三十二超胞体<BR>（32-超胞）<BR>''5-正轴体''
| Type = [[五维凸正多胞体]]
| group_type = [[正轴形|正轴体]]
| Dimension = [[五維|5]]
| dim = [[四维]]
| count = 32 [[正五胞体|{3,3,3}]] [[File:Schlegel_wireframe_5-cell.png|20px]]
| Cell = 80 ([[正四面体|3.3.3]]) [[File:Tetrahedron.png|20px]]
| Face = 80 [[正三角形|{3}]] [[File:Regular_triangle.svg|20px]]
| Edge = 40
| Vertice = 10
| Vertice_type = [[File:Pentacross verf.png|60px]]<BR>[[正十六胞体]]
| Coxeter_diagram ={{CDD|node_1|3|node|3|node|3|node|4|node}}<BR>{{CDD|node_1|3|node|3|node|split1|nodes}}
| analogy = [[正八面体]]
| Petrie = [[十邊形]]
| convex = 
| Symmetry_group = BC<sub>5</sub>, [3,3,3,4]
| Properties = [[凸集|凸]]
}}
'''五维正轴体（Pentacross）'''，又称'''正三十二超胞体（Triacontaditeron）'''，是3个五维正多超胞体之一，是五维的[[正轴形|正轴体]]，四维[[正十六胞体]]、三维[[正八面体]]、二维[[正方形]]的五维类比，由10个顶点、40条棱、80个正三角形面、80个正四面体胞、32个正五胞体超胞组成，施莱夫利符号{3,3,3,4}，顶点图为正十六胞体。同时，它也是考克斯特所归类的2<sub>11</sub>多胞形。

== 几何性质 ==
五维正轴体是[[五维超正方体]]的对偶，[[施莱夫利符号]]{3,3,3,4}意味着每个维脊（即面）处有4个正五胞体相交，顶点处都有16个正五胞体相交，顶点图是[[正十六胞体]]，每条棱处都有8个正五胞体相交，棱图是正八面体。对于边长为a的五维正轴体，其超胞积为<math>\frac{\sqrt{2}a^5}{30}</math>，表胞积是<math>{\frac{16a^4}{3}}</math>。
=== 顶点坐标 ===
以中心为原点建立四维直角坐标系，则以√2为棱长的正三十二超胞体顶点坐标为
(±1,0,0,0,0), (0,±1,0,0,0), (0,0,±1,0,0), (0,0,0,±1,0), (0,0,0,0,±1)
=== 对称性及结构 ===
五维正轴体作为五维的[[正轴形]]，与五维超正方体对偶，拥有BC<sub>5</sub>（立方形-正轴形对称性），对应施莱夫利符号{3,3,3,4}，考斯特-迪肯符号{{CDD|node_1|3|node|3|node|3|node|4|node}}。同时，它也可被看作是正五胞体[[反棱柱]]（即上下两正五胞体呈对偶式排列，再由正五胞体链接1个正五胞体的顶点和另一正五胞体的正四面体胞形成的棱柱），具有更低的对称性D<sub>5</sub>，对应施莱夫利符号[3<sup>2,1,1</sup>] 。如果我们把其对偶五维超立方体看做低对称性的五维[[超长方体]]的话，其亦可被看作是五维的{{tsl|en|rhombic fusil|长菱体}}，可能有多种不同对称性。
{| class=wikitable
!名称
!{{link-en|考克斯特符號|Coxeter diagram}} 
![[施莱夫利符号]]
!{{tsl|en|Coxeter notation|考克斯特符號|对称性}}
!群阶
![[頂點圖|顶点图]]
|- align=center
!正三十二超胞体
|{{CDD|node_1|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|{3,3,3,4}
|[3,3,3,4]||3840
|{{CDD|node_1|3|node|3|node|4|node}}
|- align=center
!交错五维正轴体
|{{CDD|node_1|3|node|3|node|split1|nodes}}
|{3,3,3<sup>1,1</sup>}
|[3,3,3<sup>1,1</sup>]||1920
|{{CDD|node_1|3|node|split1|nodes}}
|- align=center
!rowspan=8|{{tsl|en|rhombic fusil|五维长菱体}}
|- align=center
|{{CDD|node_f1|4|node|3|node|3|node|3|node}}
||{3,3,3,4}||[4,3,3,3]||3840||{{CDD|node_f1|4|node|3|node|3|node}}
|- align=center
|{{CDD|node_f1|4|node|3|node|3|node|2|node_f1}}
||{3,3,4}+{}||[4,3,3,2]||768||{{CDD|node_f1|4|node|3|node|2|node_f1}}
|- align=center
|{{CDD|node_f1|4|node|3|node|2|node_f1|4|node}}
||{3,4}+{4}||[4,3,2,4]||384||{{CDD|node_f1|4|node|3|node|2|node_f1}}<BR>{{CDD|node_f1|4|node|2|node_f1|4|node}}
|- align=center
|{{CDD|node_f1|4|node|3|node|2|node_f1|2|node_f1}}
||{3,4}+{}+{}||[4,3,2,2]||192||{{CDD|node_f1|4|node|3|node|2|node_f1}}<BR>{{CDD|node_f1|4|node|2|node_f1|2|node_f1}}
|- align=center
|{{CDD|node_f1|4|node|2|node_f1|4|node|2|node_f1}}
||{4}+{4}+{}||[4,2,4,2]||128||{{CDD|node_f1|4|node|2|node_f1|4|node}}
|- align=center
|{{CDD|node_f1|4|node|2|node_f1|2|node_f1|2|node_f1}}
||{4}+{}+{}+{}||[4,2,2,2]||64||{{CDD|node_f1|4|node|2|node_f1|2|node_f1}}<BR>{{CDD|node_f1|2|node_f1|2|node_f1|2|node_f1}}
|- align=center
|{{CDD|node_f1|2|node_f1|2|node_f1|2|node_f1|2|node_f1}}
|{}+{}+{}+{}+{}
|[2,2,2,2]||32
|{{CDD|node_f1|2|node_f1|2|node_f1|2|node_f1}}
|}

==可视化==
正三十二超胞体可以以不同角度[[平行投影]]到不同的{{tsl|en|Coxeter plane|考克斯特平面}}上：
{| class=wikitable
|+ [[正交投影]]
|- align=center
!{{tsl|en|Coxeter plane|考克斯特平面}}
!B<sub>5</sub>
!B<sub>4</sub> / D<sub>5</sub>
!B<sub>3</sub> / D<sub>4</sub> / A<sub>2</sub>
|- align=center
!图像
|[[File:5-cube t4.svg|150px]]
|[[File:5-cube t4_B4.svg|150px]]
|[[File:5-cube t4_B3.svg|150px]]
|- align=center
![[二面体群|二面体对称群]]
|[10]
|[8]
|[6]
|- align=center
!考克斯特平面
!B<sub>2</sub>
!A<sub>3</sub>
|- align=center
!图像
|[[File:5-cube t4_B2.svg|150px]]
|[[File:5-cube t4_A3.svg|150px]]
|- align=center
!二面体对称群
|[4]
|[4]
|}
[[File:Pentacross wire.png|缩略图|左|这是正三十二超胞体五维到四维的{{tsl|en|Schlegel diagram|施格莱尔投影}}的四维到三维的[[球极投影]]的三维到二维的[[透视投影]]。10对4条棱在球极投影中成为了10个圆，其中两个圆成为了直线，因为它们通过了投影的中心。]]

==参考==
* [[考克斯特|H.S.M. 考克斯特]]:
** H.S.M. 考克斯特, ''Regular Polytopes'', 第三版, Dover New York, 1973
** '''Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter''', F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss参与编辑, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html]{{Wayback|url=http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html |date=20160711140441 }}
*** (Paper 22) H.S.M. 考克斯特, ''Regular and Semi Regular Polytopes I'', [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
*** (Paper 23) H.S.M. 考克斯特, ''Regular and Semi-Regular Polytopes II'', [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
*** (Paper 24) H.S.M. 考克斯特, ''Regular and Semi-Regular Polytopes III'', [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
* {{tsl|en|Norman Johnson (mathematician)|諾曼·約翰 (數學家)|诺曼·约翰}} ''Uniform Polytopes'', Manuscript (1991)
** N.W.约翰: ''The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs'', Ph.D. (1966)
* {{KlitzingPolytopes|polytera.htm|5D uniform polytopes (polytera)|x3o3o3o4o - tac}}
==外部链接==
*{{GlossaryForHyperspace | anchor=Cross | title=Cross polytope }}
* [http://www.polytope.net/hedrondude/topes.htm Polytopes of Various Dimensions]{{Wayback|url=http://www.polytope.net/hedrondude/topes.htm |date=20161126175322 }}
* [http://tetraspace.alkaline.org/glossary.htm Multi-dimensional Glossary]{{Wayback|url=http://tetraspace.alkaline.org/glossary.htm |date=20091022011912 }}
{{五维正多胞体}}
{{正圖形}}
{{正多胞形}}
[[Category:多胞体]]