查看“︁五级运算”︁的源代码

{{NoteTA
|G1=Math
}}
[[File:Pentation.jpg|缩略图|表达式x[5]2的前三个值。3[5]2的值约为7.626×10<sup>12</sup>，更大的x因表达式的值太大而无法显示在图表上]]
在[[数学]]中，'''五级运算'''（亦称'''超-5运算'''）是[[迭代冪次|迭代幂次]]之后和六级运算之前的[[超运算]]。五级运算被定义为迭代幂次的[[迭代]]，如同迭代幂次是[[冪]]的[[迭代]]一样。<ref>{{Citation|last=Perstein|first=Millard H.|date=June 1962|doi=10.1145/367766.368160|number=6|journal=[[ACM通讯|Communications of the ACM]]|page=344|title=Algorithm 93: General Order Arithmetic|volume=5}}.</ref>以下为首五级超运算级别：
#[[加法]]
#:<math>a[1]b = a + b</math>
#[[乘法]]
#:<math>a[2]b = a \times b = \underbrace{a + a + \cdots + a}_b</math>
#[[冪]]
#:<math>a[3]b = a ^ b = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_b</math>
#[[迭代冪次]]
#:<math>a[4]b = {^{b}a} = \underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}}_b</math>
#'''五级运算'''
#:<math>a[5]b = {_{b}a}= \underbrace{^{^{^{^{^{^a}\cdot}\cdot}\cdot}a}a}_b</math>
以上每一级超运算都是对上一级的迭代。例如，将五级运算和迭代幂次用超运算符号表示，<math>2[5]3</math>意味着2连续迭代取幂自己3次，即<math>2[4](2[4]2)</math>，可以计算出，<math>2[5]3=2[4](2[4]2)=2[4](2^2)=2[4]4=2^{2^{2^2}}=2^{2^4}=2^{16}=65536.</math>

== 符号 ==
关于五级运算的符号几乎没有达成共识，因此，有许多不同的方法来表记。但是，有些符号的使用较其他符号更广泛，有些符号具有明显的优缺点。

* 五级运算可以[[超运算]]符号表示，如<math>a[5]b</math>。在这种表记方法中，<math>a[3]b</math>，即幂运算，可以解释为函数<math>x\mapsto a[2]x</math>从1开始[[迭代函数|迭代]]<math>b</math>次的结果；类似地，迭代幂次<math>a[4]b</math>表示函数<math>x\mapsto a[3]x</math>从1开始迭代b次的结果；五级运算<math>a[5]b</math>表示函数<math>x\mapsto a[4]x</math>从1开始迭代b次的结果。<ref>{{Citation|last=Knuth|first=D. E.|author-link=Donald Knuth|doi=10.1126/science.194.4271.1235|journal=[[科学 (期刊)|Science]]|pages=1235–1242|title=Mathematics and computer science: Coping with finiteness|volume=194|year=1976|pmid=17797067|number=4271|bibcode=1976Sci...194.1235K}}.</ref><ref>{{Citation|last=Blakley|first=G. R.|last2=Borosh|first2=I.|doi=10.1016/0001-8708(79)90052-5|number=2|journal={{link-en|Advances in Mathematics}}|mr=549780|pages=109–136|title=Knuth's iterated powers|volume=34|year=1979}}.</ref>这也是本文大部分所使用的符号。

* 在[[高德納箭號表示法]]中，<math>a[5]b</math>表示为<math>a \uparrow \uparrow \uparrow b</math>或<math>a \uparrow^{3}b</math>。在这个记法中，<math>a\uparrow b</math>表示幂运算，而<math>a\uparrow \uparrow b</math>代表迭代幂次。通过继续添加箭头，该记法可以轻松地表记更高级的超运算。

* 在[[康威鏈式箭號表示法]]中，<math>a[5]b = a\rightarrow b\rightarrow 3</math>。<ref>{{citation|title=The Book of Numbers|first1=John Horton|last1=Conway|author1-link=John Horton Conway|first2=Richard|last2=Guy|author2-link=Richard K. Guy|publisher=Springer|year=1996|isbn=9780387979939|page=61|url=https://books.google.com/books?id=0--3rcO7dMYC&pg=PA61|accessdate=2021-06-20|archive-date=2021-07-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20210704221823/https://books.google.com/books?id=0--3rcO7dMYC&pg=PA61}}.</ref>

* 另一个建议的符号是<math>{_{b}a}</math>，尽管这不能扩展到更高级的超运算。<ref>{{Cite web |url=http://www.tetration.org/Tetration/index.html |title=存档副本 |access-date=2021-06-20 |archive-date=2021-05-06 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210506210015/http://www.tetration.org/Tetration/index.html }}</ref>

== 例子 ==
五级运算的值也可以从[[阿克曼函數]]的变量值表的第四行中的值中获得：如果<math>A(n,m)</math>由阿克曼递归關係<math>A(m-1,A(m,n-1))</math>与初始条件<math>A(1,n)=an</math>和<math>A(m,1)=a</math>定义，那么<math>a[5]b=A(4,b)</math>。<ref>{{Citation|last=Nambiar|first=K. K.|doi=10.1016/0893-9659(95)00084-4|number=6|journal=Applied Mathematics Letters|mr=1368037|pages=51–53|title=Ackermann functions and transfinite ordinals|volume=8|year=1995}}.</ref>

五級運算是迭代幂次的迭代，而其基本運算（迭代幂次）尚未扩展到非整数高度，所以五级运算<math>a[5]b</math>当前亦仅對整数a和b有定義，其中a>0且b≥-1，以及一些其他可能有唯一定义的整数值。与所有三级（[[冪]]）及更高级的超运算一样，五级运算具有以下适用于所有定義域内a和b的值的基本恒等式：

* <math>1[5]b = 1</math>
* <math>a[5]1 = a</math>

此外，我们还可以定义：

* <math>a[5]0 = 1</math>
* <math>a[5](-1) = 0</math>

五级运算生成大数的速度非常快，因此只有极少数非平凡的情况可以得出可以用常规符号表记的数，如下表所記，其中<math>\exp_{10}(n) = 10^n</math>。

:{| class="wikitable"
! <math>x</math>
!<math>x[5]2</math>
!<math>x[5]3</math>
!<math>x[5]4</math>
|-
| 1
| 1
| 1
| 1
|-
| 2
| 4
| 65,536
| <math>\exp_{10}^{65533}(4.29508)</math>
|-
| 3
| 7,625,597,484,987
| <math>\exp_{10}^{7,625,597,484,986}(1.09902)</math>
| 
|-
| 4
| <math>\exp_{10}^3(2.19)</math> （超过10<sup>153</sup>位）
| 
| 
|-
| 5
| <math>\exp_{10}^4(3.33928)</math>（超过10<sup>10<sup>2184.1257220888</sup></sup>位）
| 
| 
|}

== 相关条目 ==

* [[阿克曼函數]]
* [[大数 (数学)|大数]]
* [[葛立恆數]]
* {{link-en|大数的历史|History of large numbers}}

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

{{大数}}

[[Category:指数]]
[[Category:大数]]
[[Category:数字运算]]