查看“︁五維正六胞體”︁的源代码

{{NoteTA|G1=Math}}
{{Infobox polytope
| name = 五维正六胞体
| imagename = 5-simplex t0.svg
| polytope = 五维正六胞体<BR>（6-超胞）<BR>''5-体''
| Type = 凸[[五维正多胞体]]
| group_type = [[单纯形]]
| Dimension = [[五維|5]]
| dim = [[四维]]
| count = 6 [[正五胞體|{4,3,3}]] [[File:Schlegel_wireframe_5-cell.png|20px]]
| Cell = 15 ([[正四面體|3.3.3]]) [[File:Tetrahedron.png|20px]]
| Face = 20 [[正三角形|{3}]] [[File:Kvadrato.svg|20px]]
| Edge = 15
| Vertice = 6
| Vertice_type = [[File:5-simplex verf.png|60px]]<BR>[[正五胞体]]
| Schläfli = {3,3,3,3}<BR>{3,3,3}x{}<BR>{3,3}x{1}<BR>{3,3}x{}x{}<BR>{3}x{3}x{}<BR>{3}x{}x{}x{}<BR>{}x{}x{}x{}x{}
| Coxeter_diagram ={{CDD|node_1|3|node|3|node|3|node|3|node}}<BR>{{CDD|node_1|3|node|3|node|3|node|2|node_1}}<BR>{{CDD|node_1|3|node|3|node|2|node_1|3|node}}<BR>{{CDD|node_1|3|node|3|node|2|node_1|2|node_1}}<BR>{{CDD|node_1|3|node|2|node_1|3|node|2|node_1}}<BR>{{CDD|node_1|3|node|2|node_1|2|node_1|2|node_1}}<BR>{{CDD|node_1|2|node_1|2|node_1|2|node_1|2|node_1}}
| analogy = [[正四面體]]
| Petrie = [[六邊形]]
| convex = 
| Symmetry_group = BC<sub>5</sub>, [3,3,3,3]
| dual = 自身对偶
| Properties = [[凸集|凸]]
}}
'''五维正六胞体（Hexateron）'''或称正六超胞体（Hexateron）是3个五维凸正多超胞体之一，一種自身對偶的[[五維多胞體]]，是五维的[[单纯形]]，四维正五胞体、三维正四面体、二维正三角形的五维类比。由6个[[正五胞体]]胞、15个[[正四面体]]胞、20个[[正三角形]]面、15条棱、6个顶点组成。它的二超胞角是cos<sup>−1</sup>(<sup>1</sup>/<sub>5</sub>)，约等于78.46°。正如其它维的正单纯形一样，正六超胞体可以被看作是正五胞体的[[棱锥]]，即正五胞体棱锥，它由一个正五胞体底面一个与正五胞体5个顶点距离都相等且等于正五胞体棱长的顶点相连而成，正五胞体的正四面体胞与顶点相连成为5个正四面体棱锥（即正五胞体）侧面。

== 几何性质 ==
正六超胞体的顶点处有5条棱相交，应此它的[[顶点图]]是[[正五胞体]]，在它的棱处有4个正五胞体维脊相交，应此它的[[頂點圖|棱图]]是[[正四面体]]。它有施莱夫利符号{3,3,3,3}，考斯特-迪肯符号{{CDD|node_1|3|node|3|node|3|node|3|node}}，它像其它正单纯形一样是自身对偶的。
对于一个边长为a的正六超胞体，其超胞积是<math>\cfrac{\sqrt{3}a^5}{480}</math>,表胞积是<math>\cfrac{\sqrt{5}a^4}{16}</math>,高是<math>\cfrac{\sqrt{30}a}{5}</math>。
若一个正六超胞体的棱长为1，则其外接五維超球的半径为<math>\frac{\sqrt{15}}{6}</math>,內切五維超球的半径为<math>\frac{\sqrt{15}}{30}</math>。


=== 坐标系 ===
为了得到正六超胞体的顶点坐标，我们可以将其看作是由正五胞体和一个与正五胞体5个顶点距离都相等且等于正五胞体棱长的顶点相连而成。经过计算之后，我们便可将棱长为2，中心在五维直角坐标系原点的正六超胞体顶点坐标表示为：<br>
:<math>\left(\sqrt{\frac{1}{15}},\ \sqrt{\frac{1}{10}},\ \sqrt{\frac{1}{6}},\ \sqrt{\frac{1}{3}},\ \pm1\right)</math>
:<math>\left(\sqrt{\frac{1}{15}},\ \sqrt{\frac{1}{10}},\ \sqrt{\frac{1}{6}},\ -2\sqrt{\frac{1}{3}},\ 0\right)</math>
:<math>\left(\sqrt{\frac{1}{15}},\ \sqrt{\frac{1}{10}},\ -\sqrt{\frac{3}{2}},\ 0,\ 0\right)</math>
:<math>\left(\sqrt{\frac{1}{15}},\ -2\sqrt{\frac{2}{5}},\ 0,\ 0,\ 0\right)</math>
:<math>\left(-\sqrt{\frac{5}{3}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)</math>
如果我们将正六超胞体当作是位于六维直角坐标系中的超平面，则正六超胞体的顶点坐标可以简单地表示为(0,0,0,0,0,1)或者(0,1,1,1,1,1)的[[全排列]]，这样的正六超胞体实则是[[六维正轴体]]（前者）或者[[截半六维超正方体]]（后者）的一个表面。
=== 对称群构造 ===
作为五维的正单纯形，一个五维凸正多超胞体，它具有A<sub>5</sub>考克斯特平面对应的对称群构造，对应施莱夫利符号{3,3,3,3}，考斯特-迪肯符号{{CDD|node_1|3|node|3|node|3|node|3|node}}。同时，它可被看作是四维正五胞体的棱锥，只具有A<sub>4</sub>对应对称性。

== 图像 ==
五维正六胞体可以以自身的对称性被平行投影到2维平面上：
{| class=wikitable
|+ [[正交投影]]
|- align=center
!A<sub>k</sub><BR>{{link-en|考克斯特平面|Coxeter plane}}
!A<sub>5</sub>
!A<sub>4</sub>
|- align=center
!图像
|[[File:5-simplex t0.svg|150px]]
|[[File:5-simplex t0_A4.svg|150px]]
|- align=center
![[二面体群|二面体对称群]]
|[6]
|[5]
|- align=center
!A<sub>k</sub><BR>{{link-en|考克斯特平面|Coxeter plane}}
!A<sub>3</sub>
!A<sub>2</sub>
|- align=center
!图像
|[[File:5-simplex t0_A3.svg|150px]]
|[[File:5-simplex t0_A2.svg|150px]]
|- align=center
![[二面体群|二面体对称群]]
|[4]
|[3]
|}
{| class=wikitable width=320
|[[Image:hexateron.png|320px]]<BR>正六超胞体的五维到四维{{link-en|施莱格尔图像|Schlegel diagram}}的四维到三维[[球极投影]]的三维到二维[[透视投影]]。 
|}

== 相关链接 ==
*[[正五胞体]]
*[[五维空间]]
*[[五维超正方体]]
*[[五维正轴体]]

== 參考文獻 ==
* [[Thorold Gosset|T. Gosset]]：''On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions''，Messenger of Mathematics，Macmillan，1900
* [[考克斯特|H.S.M.考克斯特]]：
** 考克斯特，''[[Regular Polytopes (book)|Regular Polytopes]]''，(第三版，1973)，Dover edition，ISBN 0-486-61480-8，p.296，Table I (iii)：Regular Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n≥5)
** H.S.M.考克斯特，''Regular Polytopes''，第三版，Dover New York，1973，p.296，Table I (iii)：Regular Polytopes，three regular polytopes in n-dimensions (n≥5)
** '''Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter'''，editied by F. Arthur Sherk，Peter McMullen，Anthony C. Thompson，Asia Ivic Weiss，Wiley-Interscience Publication，1995，ISBN 978-0-471-01003-6 [http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html]{{Wayback|url=http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html |date=20160711140441 }}
*** (第22页) H.S.M. Coxeter, ''Regular and Semi Regular Polytopes I'', [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
*** (第23页) H.S.M. Coxeter, ''Regular and Semi-Regular Polytopes II'', [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
*** (第24页) H.S.M. Coxeter, ''Regular and Semi-Regular Polytopes III'', [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
* [[John Horton Conway|John H. Conway]]，Heidi Burgiel，Chaim Goodman-Strass，''The Symmetries of Things'' 2008，ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 26. pp. 409: Hemicubes: 1<sub>n1</sub>)
* [[诺曼·约翰逊]] ''Uniform Polytopes''，Manuscript (1991)
** N.W.约翰逊: ''The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs''，Ph.D. (1966)
*{{KlitzingPolytopes|polytera.htm|5D uniform polytopes (polytera)|x3o3o3o3o - hix}}
{{五维正多胞体}}
{{正圖形}}
{{正多胞形}}
[[Category:多胞体]]