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在[[同調代數]]中，'''五引理'''是關於[[交換圖]]的一個重要[[引理]]。五引理可以被視為兩個相對偶的'''四引理'''之組合。此結果不只對[[阿貝爾範疇]]成立，也對[[群]]範疇成立。

==陳述==
在任一[[阿貝爾範疇]]（例如[[阿貝爾群]]或[[模]]的範疇）或[[群]]範疇中，考慮以下的交換圖：

[[File:FiveLemma.png]]

五引理的敘述是：如果橫列[[正合序列|正合]]，<math>m, p</math> 是同構，<math>l</math> 是滿射而 <math>q</math> 是單射，則 <math>n</math> 是同構。

兩個四引理的敘述是：

'''(1)''' 考慮交換圖
[[File:FourLemma01.png]]

若其橫行正合，<math>m, p</math> 是滿射而 <math>q</math> 是單射，則 <math>n</math> 是滿射。

'''(2)''' 考慮交換圖
[[File:FourLemma02.png]]

若其橫行正合，<math>m, p</math> 是單射而 <math>l</math> 是滿射，則 <math>n</math> 是單射。

==證明==
以下採用的證法俗稱「圖追蹤」，它看似繁複，其實習慣後只是例行程序罷了。

為進行圖追蹤，以下假設所論範疇為某個[[环 (代数)|環]]上的[[模]]範疇，因此可以談論對象的元素，並將態射視為模的同態。此時單射、滿射等等性質相應於集合論意義上的性質。根據[[Mitchell嵌入定理]]，可導出一般範疇上的情形。

對於群範疇，僅須注意到證明內容未用到群的交換性。

[[File:FourLemma01.png]]

# 設 <math>c' \in C'</math>。
# 由於 <math>p</math> 是滿射，存在 <math>d \in D</math> 使得 <math>p(d)=t(c')</math>。
# 根據圖的交換性，<math>u(p(d)) = q(j(d))</math>。
# 根據正合性， <math>\mathrm{Im}(t) = \mathrm{Ker}(u)</math>，故 <math>0=u(t(c')) = u(p(d)) = q(j(d))</math>。
# 因為 <math>q</math> 是單射，<math>j(d)=0</math>，故 <math>d \in \mathrm{Ker}(j) = \mathrm{Im}(h)</math>。
# 於是存在 <math>c \in C</math> 使得 <math>h(c)=d</math>。
# 遂有 <math>t(n(c))=p(h(c)) = t(c')</math>。因為 <math>t</math> 是同態，有 <math>t(c'-n(c))=0</math>。
# 根據正合性，<math>c'-n(c) \in \mathrm{Im}(s)</math>，故存在 <math>b' \in B'</math> 使得 <math>s(b')=c'-n(c)</math>。
# 因為 <math>m</math> 是滿射，存在 <math>b \in B</math> 使得 <math>b' = m(b)</math>。
# 根據圖的交換性 <math>n(g(b))=s(m(b))=c'-n(c)</math>。
# 因為 <math>n</math> 是同態，<math>n(g(b)+c)=n(g(b))+n(c)=c'-n(c)+n(c)=c'</math>。
# 由此可知 <math>n</math> 是滿射。證畢。

為證明 '''(2)'''，在下圖中假設 <math>m</math> 與 <math>p</math> 是單射，而 <math>l</math> 是滿射。

[[File:FourLemma02.png]]

# 設 <math>c \in C</math> 使得 <math>n(c)=0</math>。
# 於是 <math>t(n(c))=0</math>。
# 根據圖的交換性，<math>p(h(c))=0</math>
# 因為 <math>p</math> 是單射，<math>h(c)=0</math>。
# 根據正合性，存在 <math>b \in B</math> 使得 <math>g(b)=c</math>。
# 根據圖的交換性，<math>s(m(b)) = n(g(b)) = n(c) = 0</math>。
# 根據正合性，存在 <math>a' \in A'</math> 使得 <math>r(a')=m(b)</math>。
# 因為 <math>l</math> 是滿射，存在 <math>a \in A</math> 使得 <math>l(a)=a'</math>。
# 根據圖的交換性，<math>m(f(a)) = r(l(a)) = m(b)</math>。
# 因為 <math>m</math> 是單射，<math>f(a)=b</math>。
# 故 <math> c = g(f(a)) = 0</math>。
# 由此可知 <math>n</math> 是單射。證畢。

結合兩個四引理，便可證得五引理。

==應用==
五引理通常用於[[長正合序列]]：在計算一個對象的[[同調]]或[[上同調]]群時，我們通常利用一個較簡單的子對象，其同調或上同調已知，再配合長正合序列進行計算。長正合序列本身不一定能確定所求的同調或上同調，此時可以試著以態射比較原對象與一個已知的對象，此態射導出長正合序列的鏈映射，此時五引理有助於決定未知的同調或上同調群。

==相關主題==
* [[短五引理]]：五引理對[[短正合序列]]的特例。
* [[蛇引理]]
* [[九引理]]

[[Category:同調代數|W]]
[[Category:引理|W]]