查看“︁互相关”︁的源代码

{{NoteTA
| G1 = Math
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{{no footnotes|time=2018-08-12T01:14:42+00:00}}
[[File:comparison convolution correlation.svg|thumb|400px|[[卷积]]、互相关和[[自相关函数|自相关]]的图示比较。运算涉及函数<math>f</math>，并假定<math>f</math>的高度是1.0，在5个不同点上的值，用在每个点下面的阴影面积来指示。<math>f</math>的对称性是卷积<math>g*f</math>和互相关<math>f \star g</math>在这个例子中相同的原因。<!--Note that g∗f and f∗g would be identical even without the symmetry of f, so please don't change the statement above.-->]]
在[[统计学]]中，'''互相关'''有时用来表示两个[[随机矢量]] ''X'' 和 ''Y'' 之间的[[协方差]]cov（''X'', ''Y''），以与矢量 ''X'' 的“协方差”概念相区分，矢量 ''X'' 的“协方差”是 ''X'' 的各标量成分之间的[[协方差矩阵]]。

在[[信号处理]]领域中，'''互相关'''（有时也称为“[[互协方差]]”）是用来表示两个[[信号]]之间相似性的一个度量，通常通过与已知信号比较用于寻找未知信号中的特性。它是两个信号之间相对于[[时间]]的一个函数，有时也称为“滑动[[点积]]”，在[[模式识别]]以及[[密码分析学]]领域都有应用。

对于离散函数 ''f''<sub>''i''</sub> 和 ''g''<sub>''i''</sub> 来说，互相关定义为
:<math>(f\star g)_i \equiv \sum_j \overline{f_j}\,g_{i+j}</math>

其中和在整个可能的[[整数]] ''j'' 区域取和，<math>\overline{f}</math>表示[[复共轭]]。对于连续信号 ''f''(''x'') 和 ''g''(''x'') 来说，互相关定义为
:<math>(f\star g,x)\equiv \int \overline{f(t)} g(x+t)\,dt</math>

其中积分是在整个可能的 ''t'' 区域积分。

互相关实质上类似于两个函数的[[卷积]]。

==特性==

*互相关与[[卷积]]通过下式发生关系：
:<math>f (t)\star g (t) = \overline{f(-t)}*g (t)</math>

*互相關並不滿足[[交換律]]：
: <math>(f \star g,t) =(\overline{g} \star \overline{f})(-t)</math>，

*<math>(f \star g)\star(f \star g)=(f \star f) \star(g \star g)</math>

*由[[卷積定理]]可推得：
: <math>\mathcal{F}\{f\star g\}=\overline{\mathcal{F}\{f\}} \cdot \mathcal{F}\{g\}</math>，
:其中<math>\mathcal{F}\{f\}</math>表示<math> f </math>的[[傅立葉變換]]。

*如果<math> f </math>是一个[[埃爾米特函數]]：
:<math>f \star g = f * g </math>

*如果<math> f </math>和<math> g </math>都是埃爾米特函数：
:<math>f \star g = g \star f </math>

==参见==
* [[卷积]]
* [[相关]]
* [[自相关]]
* [[自协方差]]
* [[維納－辛欽定理]]

==外部链接==
* [http://mathworld.wolfram.com/Cross-Correlation.html Mathworld的互相关]{{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/Cross-Correlation.html |date=20200830125213 }}
* http://citebase.eprints.org/cgi-bin/citations?id=oai:arXiv.org:physics/0405041{{dead link|date=2017年11月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}
* https://web.archive.org/web/20061025183237/http://www.idiom.com/~zilla/Work/nvisionInterface/nip.html
* http://www.phys.ufl.edu/LIGO/stochastic/sign05.pdf{{Wayback|url=http://www.phys.ufl.edu/LIGO/stochastic/sign05.pdf |date=20160809195428 }}
* http://ceb.nlm.nih.gov/pubs/hauser/Tompaper/tompaper.php{{dead link|date=2017年11月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}
* http://www.staff.ncl.ac.uk/oliver.hinton/eee305/Chapter6.pdf{{Wayback|url=http://www.staff.ncl.ac.uk/oliver.hinton/eee305/Chapter6.pdf |date=20200801082855 }}
* http://www.is.ac.cn/China-Bejing2.pdf{{Wayback|url=http://www.is.ac.cn/China-Bejing2.pdf |date=20060327211829 }}
* [https://web.archive.org/web/20060719210016/http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/other/correlate/ Cross correlation examples including 2D pattern identification]

[[Category:信号处理]]
[[Category:协方差与相关性]]