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{{NoteTA
|G1 = Math
}}
[[数学]]上的'''亏格'''，也称为'''曲面种数'''（{{lang-en|Genus}}）有几个不同但密切相关的意思。最常见的概念是（有方向的）曲面的亏格，是其具有的“孔”的数量，因此，一个球体的亏格为0，而一个圆环的亏格为1。

==[[拓扑学|拓扑]]==
===可定向曲面===
连通，[[可定向]][[曲面]]的'''亏格'''是一个整数，代表沿闭简单[[曲线]]切开但不切断曲面的最大曲线条数。这和[[柄 (数学)|柄]]的个数是相同的。

例如：
* [[球面]]，[[圆盘 (数学)|圆盘]]和环亏格都为0。
* [[环面]]亏格1，和带一个柄的咖啡杯的表面是一样的。

<gallery caption="可定向曲面的亏格" widths="100px" heights="100px" perrow="6">
Image:Sphere-wireframe.png|亏格0
Image:Torus illustration.png|亏格1
Image:Double torus illustration.png|亏格2
Image:Triple torus illustration.png|亏格3
</gallery>

===不可定向曲面===
连通，不可定向闭[[曲面]]的（不可定向）'''亏格'''是一个正[[整数]]，代表附在球上的[[交叉帽]]的个数。

例如：
* [[射影平面]]有不可定向亏格1。
* [[克莱因瓶]]有不可定向亏格2。

===纽结===
[[纽结]]''K''的'''[[纽结亏格|亏格]]'''定义为所有''K''的[[Seifert曲面]]的最小亏格。

===柄体===
3维[[柄体]]的'''亏格'''是一个整数，代表沿嵌入的[[圆盘]]切开而不切断流形的最大切割数。这和柄的个数是一致的。

例如：
* [[球 (数学)|球]]亏格0。
* 实心环<math>D^2\times S^1</math>亏格为1。

==[[图论]]==

[[图 (数学)|图]]的'''亏格'''是最小的整数''n''使得图可以不用交叉就画在有''n''个柄的球面上（也就是亏格为''n''的可定向曲面）。这样，一个[[平面图 (图论)|平面图]]亏格为0，因为可以画在球面上而没有自交。

[[图 (数学)|图]]的'''不可定向亏格'''是最小的整数''n''使得图可以不用交叉就画在有''n''个交叉帽的球面上（也就是不可定向亏格为''n''的不可定向曲面）。

在[[拓扑图论]]中，有几种对[[群]]的亏格的定义。[[Arthur T. White]]引入了如下概念。群<math>G</math>的[[群的亏格|亏格]]是<math>G</math>的任意（连通，无向）[[凯莱图]]的最小格。

==[[代数几何]]==

有个任意[[代数曲线]]''C''的'''亏格'''的定义.
当定义''C''的域是[[复数 (数学)|复数]]，且''C''无[[切空间|奇点]]时，该定义和作为[[黎曼曲面]]的''C''的拓扑定义相同（其复数点组成的[[流形]]）.代数几何中的[[椭圆曲线]]的定义为''亏格为1的非奇异曲线''。

== 参看 ==
* [[凯莱图]]
* [[群]]
* [[曲面]]

[[Category:几何拓扑学]]
[[Category:曲面]]
[[Category:代数拓扑]]
[[Category:代数曲线]]
[[Category:图论]]
[[Category:拓扑图论]]
[[Category:微分几何|K]]