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{{noteTA|G1=物理學}}{{不是|二体问题 (职业)}}{{向量字體常規}}
[[File:orbit5.gif|thumb|200px|兩個質量相等的粒子，依循各自橢圓軌道，繞著[[質心]]公轉。]]
[[File:orbit2.gif|thumb|200px|兩個質量稍微不同的粒子的運動，依循各自橢圓軌道，繞著[[質心]]公轉。這種軌道的尺寸與形狀類似[[冥王星]]-[[冥衛一]]系統。]]
在[[經典力學]]裏，'''二體問題'''（{{lang-en|two-body problem}}）研究兩個[[粒子]]因彼此互相作用而產生的運動。這是個很重要的[[天文學]]問題，常見的應用有[[衛星]]繞著[[行星]]公轉、行星繞著[[恆星]]公轉、[[雙星系統]]、[[雙行星]]、一個經典[[電子]]繞著[[原子核]]運動等等。

二體問題可以表述為兩個獨立的'''單體問題'''，其中一個是平凡的單體問題，另外一個單體問題研究一個粒子因外力作用而呈現的運動。由於很多單體問題有[[精確解]]（{{lang|en|exact solution}}），即不需借助近似方法就可得到問題的解答；其對應的二體問題連帶地也可解析。顯然不同地，除了特別案例以外，[[三體問題]]（或者更複雜的[[多體問題]]）並沒有精確解。

==約化為兩個獨立的單體問題==
在一個物理系統裏，假設兩個粒子的質量分別為<math>m_{1}\,\!</math>、<math>m_{2}\,\!</math>，在時間<math>t=0\,\!</math>的初始位置分別為<math>\mathbf{x}_{10}\,\!</math>、<math>\mathbf{x}_{20}\,\!</math>，初始速度分別為<math>\mathbf{v}_{10}\,\!</math>、<math>\mathbf{v}_{20}\,\!</math>，計算這兩個粒子的軌跡函數<math>\mathbf{x}_{1}(t)\,\!</math>及<math>\mathbf{x}_{2}(t)\,\!</math>的問題，稱為二體問題。

根據[[牛頓第二定律]]：
:<math>\mathbf{F}_{12}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = m_{1} \ddot{\mathbf{x}}_{1}\,\!</math> —— (1)、
:<math>\mathbf{F}_{21}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = m_{2} \ddot{\mathbf{x}}_{2}\,\!</math> —— (2)；

其中，<math>\mathbf{F}_{AB}\,\!</math>表示粒子B施加於粒子A的[[作用力]]。

[[File:Two-body Jacobi coordinates.JPG|thumb|200px|二體問題的[[雅可比坐標]]({{lang|en|Jacobi coordinates}})為質心坐標<math>\boldsymbol{R}=\frac {m_1}{M} \boldsymbol{x}_1 + \frac {m_2}{M} \boldsymbol{x}_2 </math>和相對坐標<math>\boldsymbol{r} = \boldsymbol{x}_1 - \boldsymbol{x}_2 </math>；其中，<math>M = m_1+m_2 \ </math> <ref name=Betounes>{{cite book |title=Differential Equations |url=https://archive.org/details/differentialequa0000beto |author=David Betounes |page=58; Figure 2.15 |year=2001 |publisher=Springer}}</ref>。]]
將方程式(1)與方程式(2)相加，可以得到一個方程式，專門描述兩個粒子的質心運動。將方程式(1)與方程式(2)的相減，則可得到描述兩個粒子相對的[[位移|位移向量]]<math>\mathbf{r}=\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_2\,\!</math>與時間之間的關係。將這兩個獨立的單體問題的解答結合起來，就可以求得軌跡函數<math>\mathbf{x}_{1}(t)\,\!</math>和<math>\mathbf{x}_{2}(t)\,\!</math>。

===質心運動（第一個單體問題）===
[[質心]]的位置由兩個粒子的位置和質量給出：
:<math>\mathbf{x}_{cm} \ \stackrel{def}{=}\ (m_{1}\mathbf{x}_{1} + m_{2}\mathbf{x}_{2})/M\,\!</math>；

其中，<math>M=m_{1} + m_{2}\,\!</math>是系統的總質量。

質心的[[加速度]]為：
:<math>\ddot{\mathbf{x}}_{cm}=(m_{1}\ddot{\mathbf{x}}_{1} + m_{2}\ddot{\mathbf{x}}_{2})/M\,\!</math>。

由於沒有外力作用，將方程式(1)與(2)相加，根據[[牛頓第三定律]]，可以得到
:<math>M\ddot{\mathbf{x}}_{cm} = \mathbf{F}_{12} + \mathbf{F}_{21} = 0 \,\!</math>。

因此，質心的加速度等於零，質心的速度<math>\mathbf{v}_{cm}\,\!</math>為常數：
:<math>\mathbf{v}_{cm}=\dot{\mathbf{x}}_{cm}=(m_{1}\mathbf{v}_{10} + m_{2}\mathbf{v}_{20})/M\,\!</math>。

這物理系統的[[動量守恆]]：
:<math>m_{1}\mathbf{v}_{1} + m_{2}\mathbf{v}_{2}=M\mathbf{v}_{cm}=m_{1}\mathbf{v}_{10} + m_{2}\mathbf{v}_{20}\,\!</math>。

從兩個粒子的初始位置和初始速度，就可以決定質心在任意時間的位置：
:<math>\mathbf{x}_{cm}=\mathbf{v}_{cm}t+(m_{1}\mathbf{x}_{10} + m_{2}\mathbf{x}_{20})/M\,\!</math>。

===位移向量運動（第二個單體問題）===
將方程式(1)、(2)分別除以<math>m_1\,\!</math>、<math>m_2\,\!</math>，然後相減，可以得到
:<math>\ddot{\mathbf{r}} = \ddot{\mathbf{x}}_{1} - \ddot{\mathbf{x}}_{2} =
\left( \frac{\mathbf{F}_{12}}{m_{1}} - \frac{\mathbf{F}_{21}}{m_{2}} \right)\,\!</math>。

其中，<math>\mathbf{r}\,\!</math>是個從粒子2位置指到粒子1位置的位移向量。

應用[[牛頓第三定律]]，<math>\mathbf{F}_{12} = -\mathbf{F}_{21}\,\!</math>。所以，
:<math>\ddot{\mathbf{r}} =\left(\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}} \right)\mathbf{F}_{12}\,\!</math>。

兩個粒子之間的作用力應該只是相對位置<math>\mathbf{r}\,\!</math>的函數，而不是絕對位置<math>\mathbf{x}_{1}\,\!</math>、<math>\mathbf{x}_{2}\,\!</math>的函數；否則，無法滿足物理的[[對稱#平移對稱|平移對稱]]，物理定律會因地而易，二體之間的物理關係無法普遍地成立於全宇宙。換句話說，在宇宙中，兩個粒子的絕對位置無關緊要，因為它們是宇宙中唯一的兩個粒子，是互相施加於彼此的作用力的源頭。誠然地，這是一個不實際的問題，可以被視為一個[[思想實驗]]。為了滿足這問題的要求，兩個粒子之間的作用力必須只是相對位置<math>\mathbf{r}\,\!</math>的函數。這樣，相減得到的方程式寫為
:<math>\mu \ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{F}_{12}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = \mathbf{F}(\mathbf{r})\,\!</math>；

其中，<math>\mu =m_{1}m_{2}/M\,\!</math>是[[約化質量]]。

一旦求得函數<math>\mathbf{x}_{cm}(t)\,\!</math>與<math>\mathbf{r}(t)\,\!</math>，就可以計算出兩個粒子的軌跡方程式<math>\mathbf{x}_{1}(t)\,\!</math>與<math>\mathbf{x}_{2}(t)\,\!</math>：
:<math>\mathbf{x}_{1}(t)=\mathbf{x}_{cm}(t) + m_{2}\mathbf{r}(t)/M\,\!</math>、
:<math>\mathbf{x}_{2}(t)=\mathbf{x}_{cm}(t) - m_{1}\mathbf{r}(t)/M\,\!</math>。

==角動量==
兩個粒子的總[[角動量]]<math>\mathbf{L}_{tot} \,\!</math>為
:<math>\begin{align}\mathbf{L}_{tot} & =\mathbf{x}_1 \times (m_1\dot{\mathbf{x}}_1)+\mathbf{x}_2 \times (m_2\dot{\mathbf{x}}_2)=\mathbf{x}_{cm} \times M\dot{\mathbf{x}}_{cm}+\mathbf{r} \times \mu\dot{\mathbf{r}} \\
 & =\mathbf{L}_{cm}+ \mathbf{L}_{rel}\\ \end{align}\,\!</math> 

其中，<math>\mathbf{L}_{cm}=\mathbf{x}_{cm} \times M\dot{\mathbf{x}}_{cm}\,\!</math>是質心對於[[原點]]的角動量，<math>\mathbf{L}_{rel}=\mathbf{r} \times \mu\dot{\mathbf{r}}\,\!</math>是兩個粒子對於質心的角動量。

回想前面質心的軌跡方程式，
:<math>\mathbf{x}_{cm}=\mathbf{v}_{cm}t+(m_{1}\mathbf{x}_{10} + m_{2}\mathbf{x}_{20})/M\,\!</math>。

為了簡化分析，設定質心的初始位置為<math>0\,\!</math>。也就是說，質心的直線運動經過原點。那麼，
:<math>\mathbf{L}_{cm}=\mathbf{v}_{cm}t \times M\mathbf{v}_{cm}=0\,\!</math>、
:<math>\mathbf{L}_{tot} =\mathbf{L}_{rel}\,\!</math>。

二体问题常用的换元的技巧是通过 <math>u=1/r \!</math> 和 <math>\dot{\theta}=Lu^{2}/m\!</math> 将原方程中对时间的求导转化为对角度 <math>\theta\!</math> 的求导，并得到Sturm-Liouville型方程<ref>{{cite journal |last1=Luo |first1=Siwei |title=The Sturm-Liouville problem of two-body system |journal=Journal of Physics Communications |date=22 June 2020 |volume=4 |issue=6 |page=061001 |doi=10.1088/2399-6528/ab9c30|bibcode=2020JPhCo...4f1001L |doi-access=free }}</ref> 
:<math>(Lu')'+Lu = 1/L\!</math>

===角動量守恆與連心力===
二體問題的總[[力矩]]<math>\boldsymbol{\tau}_{tot}\,\!</math>是
:<math>\boldsymbol{\tau}_{tot}=\mathbf{x}_1\times\mathbf{F}_{12}+\mathbf{x}_2 \times \mathbf{F}_{21}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}_{12}\,\!</math>。

在物理學裏，時常會遇到的[[萬有引力]]、[[靜電|靜電力]]等等，都是[[連心力]]。假設，作用力<math>\mathbf{F}_{12}\,\!</math>是連心力，則<math>\mathbf{F}_{12}\,\!</math>與<math>\mathbf{r}\,\!</math>同直線，總力矩<math>\boldsymbol{\tau}_{tot}\,\!</math>等於0。根據[[角動量守恆定律]]，
:<math>\boldsymbol{\tau}_{tot}=\frac{d \mathbf{L}_{tot}}{dt}\,\!</math>。

因此，總角動量<math>\mathbf{L}_{tot} \,\!</math>是個常數，總角動量守恆。

請注意，並不是每一種力都是連心力。假設，兩個粒子是[[帶電粒子]]。由[[必歐-沙伐定律]]與[[勞侖茲力]]定律所算出的作用力和反作用力並不是連心力。總力矩<math>\boldsymbol{\tau}_{tot}\,\!</math>不等於0。總角動量不守恆；這是因為還有角動量並沒有被計算在內。假若，將[[電磁場]]的角動量計算在內，則角動量守恆定律仍舊成立<ref name="Herb1980">{{cite book |last=Goldstein|first=Herbert|title=Classical Mechanics|year=1980| location=United States of America | publisher=Addison Wesley| edition= 3rd| isbn=0201657023 | language=en| pages=pp. 7-8}}</ref>。

在很多[[物理系統]]裏，作用力<math>\mathbf{F}(\mathbf{r})\,\!</math>是一種連心力，以方程式表示為
:<math>\mathbf{F}(\mathbf{r}) = F(r)\hat{\mathbf{r}}</math>；

其中，<math>r\,\!</math>是徑向距離，<math>\hat{\mathbf{r}}\,\!</math>是徑向[[單位向量]]。

這物理系統的[[運動方程式]]為
:<math>\mu \ddot{\mathbf{r}} = {F}(r)\hat{\mathbf{r}}\,\!</math>。

更詳盡細節，請參閱條目[[經典連心力問題]]（{{lang|en|classical central force problem}}）。

===平面運動與角動量守恆===
總角動量與<math>\mathbf{r}\,\!</math>的[[點積]]為
:<math>\mathbf{r}\cdot\mathbf{L}_{tot}=\mathbf{r}\cdot(\mathbf{r} \times(\mu\dot{\mathbf{r}}))=0\,\!</math>。

這兩個粒子的運動軌道必定包含於垂直於<math>\mathbf{L}_{tot} \,\!</math>的平面。假設作用力為連心力，則由於角動量守恆，這兩個粒子必定運動於某特定平面，而常數向量<math>\mathbf{L}_{tot} \,\!</math>垂直於這平面。

==參閱==
* [[多體問題]]
* [[克卜勒定律]]
* [[克卜勒問題]]
* [[拉普拉斯-龍格-冷次向量]]
* [[伯特蘭定理]]
* [[牛頓旋轉軌道定理]]

== 參考文獻 ==
=== 引用 ===
{{Reflist|30em}}

=== 来源 ===
{{refbegin}}
; 书籍
* Lev D. Landau and E. M. Lifshitz, (1976) ''Mechanics'', 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 978-0-08-021022-3 (hardcover) and ISBN 978-0-08-029141-3 (softcover).
{{refend}}

[[Category:经典力学|E]]
[[Category:天体力学|E]]