查看“︁二面體群”︁的源代码

{{unreferenced|time=2009-6-15}}

[[File:Snowflake8.png|thumb|[[雪|雪花]]有正[[六邊形]]的二面體對稱。]]
{{Groups}}
在[[數學]]中，'''二面體群''' <math>D_{2n}</math> 是正 <math>n</math> 邊形的對稱群，具有 <math>2n</math> 個元素。某些書上則記為 <math>D_n</math>。除了 <math>n=2</math> 的情形外，<math>D_{2n}</math> 都是非交換群。

== 生成元與關係 ==
抽象言之，首先考慮 <math>n</math> 階[[循環群]] <math>C_n</math>。反射 <math>\tau: x \mapsto x^{-1}</math> 是 <math>C_n</math> 上的自同構，而且 <math>\tau^2 = \rm{id}</math>。定義二面體群為[[半直積]]
: <math>D_{2n}= C_n \rtimes \{e, \tau \}</math>

任取 <math>C_n</math> 的生成元 <math>\sigma</math>，<math>D_{2n}</math> 由 <math>\sigma, \tau</math> 生成，其間的關係是
: <math>\sigma^n = e,  \tau^2 = e, \tau \sigma \tau = \sigma^{-1}\,</math>

<math>D_{2n}</math> 的元素均可唯一地表成 <math>\sigma^k \tau^h</math>，其中 <math>0 \leq k < n</math>，<math>h = 0,1\,</math>。

== 幾何詮釋 ==
[[File:Pentagon reflection.png|frame|right|n=5 的情形：反射對稱]]
[[File:Pentagon rotation.png|frame|right|n=5 的情形：旋轉對稱]]

二面體群也可以詮釋為二維[[正交群]] <math>O(2)</math> 中由
: <math>\sigma := \begin{pmatrix}\cos{2\pi \over n} & -\sin{2\pi \over n} \\ \sin{2\pi \over n} & \cos{2\pi \over n}\end{pmatrix}</math> （旋轉 <math>\frac{2\pi}{n}</math> 弧度）
: <math>\tau := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} </math> （對 x 軸反射）
生成的子群。由此不難看出 <math>D_{2n}</math> 是正 n 邊形的對稱群。

== 性質 ==
* <math>D_{2n}</math> 的中心在 <math>n</math> 為奇數時是 <math>\{e\}</math>，在 <math>n</math> 為偶數時是 <math>\{e, \sigma^{n/2}\}</math>。
* 當 <math>n</math> 為奇數時，<math>D_{4n}</math> 同構於 <math>D_{2n}</math> 與二階循環群的[[直積]]。同構可由下式給出：
: <math>\sigma^{k+\epsilon n} \tau^h \mapsto (\sigma^k \tau^h, \epsilon) </math>
其中 <math>h, \epsilon = 0,1</math>，<math>0 \leq k < n</math>。
* 當 <math>n</math> 為奇數時，<math>D_{2n}</math> 的所有反射（即：二階元素）彼此共軛；當 <math>n</math> 為偶數，則反射元在共軛作用下分解成兩個軌道；從幾何方面解釋，二者差意在於反射面是否通過正 <math>n</math> 邊形的[[頂點 (幾何)|頂點]]。
* 若 <math>m|n</math>，則 <math>D_{2m} \leq D_{2n}</math>，由此可導出 <math>D_{2n}</math> 共有 <math>d(n)+\sigma(n)</math> 個子群，其中的[[算術函數]] <math>d(n)</math> 與 <math>\sigma(n)</math> 分別代表 <math>n</math> 的正因數個數與正因數之和。

== 表示 ==
當 <math>n</math> 為奇數時，<math>D_n</math> 有兩個一維不可約表示：
: <math>\tau \mapsto (-1)^k, \; \sigma \mapsto 1 \quad (k = 0,1)</math>
當 <math>n</math> 為偶數時，<math>D_n</math> 有四個一維不可約表示：

{{Annotated image
|float = right
|height = 170
|image = Dihedral group D8 on a Chinese stop sign.svg
|image-width = 500
|image-top = 25
|caption = 正八邊形的[[停車標誌]]在<math>D_{8}</math>的[[群作用]]下的結果
|annotations =
{{Annotation|25|7|<math>e</math>}}
{{Annotation|87|7|<math>\sigma</math>}}
{{Annotation|149|2|<math>\sigma^2</math>}}
{{Annotation|211|2|<math>\sigma^3</math>}}
{{Annotation|273|2|<math>\sigma^4</math>}}
{{Annotation|335|2|<math>\sigma^5</math>}}
{{Annotation|397|2|<math>\sigma^6</math>}}
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{{Annotation|25|157|<math>\tau</math>}}
{{Annotation|82|157|<math>\sigma\tau</math>}}
{{Annotation|139|152|<math>\sigma^2\tau</math>}}
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{{Annotation|265|152|<math>\sigma^4\tau</math>}}
{{Annotation|328|152|<math>\sigma^5\tau</math>}}
{{Annotation|391|152|<math>\sigma^6\tau</math>}}
{{Annotation|454|152|<math>\sigma^7\tau</math>}}
}}

: <math>\tau \mapsto (-1)^k, \sigma \mapsto (-1)^h \quad (k,h = 0,1)</math>
其餘不可約表示皆為二維，共有 <math>\lfloor n/2 \rfloor</math> 個，形如下式：
: <math>\sigma\mapsto\begin{pmatrix} \omega^h & 0 \\ 0 & \omega^{-h}\end{pmatrix}\;\tau\mapsto\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}</math>
其中 <math>\omega</math> 是任一 n 次本原[[單位根]]，<math>h</math> 過 <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>。由 <math>h_1, h_2</math> 給出的表示相等價若且唯若 <math>h_1 + h_2 \equiv 0 \mod n</math>。

== 文獻 ==

[[Category:群論]]
[[Category:有限群]]
[[Category:欧几里得对称]]