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在[[代數數論]]中，'''二次域'''是在[[有理數]]域<math>\mathbb{Q}</math>上次數為二的[[數域]]。二次域可以唯一地表成<math>\mathbb{Q}(\sqrt{d})</math>，其中<math>d</math>[[無平方數因數的數|無平方數因數]]。若<math>d>0</math>，稱之為'''實二次域'''；否則稱為'''虛二次域'''或'''複二次域'''。虛實之分在於<math>\mathbb{Q}(
\sqrt{d})</math>是否為[[全實域]]

二次域的 研究肇源甚早，起初是作為[[二次型]]理論的一支。二次域是代數數論的基本對象之一，雖然如此，至今仍有一些未解猜想，如[[類數問題]]。

==整數環與判別式==
二次域<math>K := \mathbb{Q}(\sqrt{d})</math>裡的整數環<math>\mathcal{O}_K</math>定義為該域中的[[代數整數]]。當<math>d \equiv 1 \mod 4</math>時，整數環可描述為<math>\mathbb{Z}(\frac{1+\sqrt{d}}{2})</math>，否則為<math>\mathbb{Z}(\sqrt{d})</math>。當<math>d=-1</math>時，這些整數稱為[[高斯整數]]，當<math>d=-3</math>時，稱為[[艾森斯坦整數]]。

根據上述描述，<math>K</math>的[[代數數域的判別式|判別式]]不難計算：當<math>d \equiv 1 \mod 4</math>時判別式為<math>d</math>，否則則為<math>4d</math>。

==二次域上的分歧理論==
設<math>K := \mathbb{Q}(\sqrt{d})</math>，<math>p \in \mathbb{Z}</math>為[[素數]]。數論關注的問題是<math>(p) := p \mathcal{O}_K</math>如何在<math>\mathcal{O}_K</math>中分解成素理想之積。根據數域的[[分歧理論]]，應考慮以下情形：

*<math>p</math>是慣性的：<math>p \mathcal{O}_K</math>仍為素理想，此時<math>\mathcal{O}_K/(p) \simeq \mathbb{F}_{p^2}</math>。
*<math>p</math>分裂：<math>(p)</math>為兩個相異素理想之積，此時<math>\mathcal{O}_K/(p) \simeq \mathbb{F}_p^2</math>。
*<math>p</math>分歧：<math>(p)</math>為某個素理想之平方，此時<math>\mathcal{O}_K/(p)</math>含有非零的冪零元。

根據之前對判別式的計算，可知<math>p</math>分歧當且僅當<math>p</math>整除<math>K</math>的判別式（<math>d</math>或<math>4d</math>，取決於<math>d\mod4</math>）；對其餘無窮多個素數，前兩個情形皆會發生，而且其[[機率]]在某種意義上相等。

===素p分圆域和二次域===
[[分圆域]]素p（p＞2）次根群所产生二次[[子域]]，也是伽罗瓦理论（[[埃瓦里斯特·伽罗瓦]]）的一个结论，在[[有理域]]上有惟一[[上标|指数]]2Galois子群，，二次域特例d=-1时成称[[高斯整环]]，有[[判别式]]p的p=4N+1-P，P = 4N +3才有[[素分解]]，[[高斯整环]][[分歧]]条件叫[[高斯周期]]（Gaussian period）。

===其他的分圆域===
如果一个[[分圆域]]，他们有额外的2-扭[[伽罗瓦群]]，那麽就至少包含三个二次域。一般通过[[分圆域]]二次[[子域]]的[[判别式]]D的可以得到D次[[单位根]]组成的子域（D-th roots of unity）。这表示一个事实，即二次域的[[前导子]]（conductor） 是[[判别式]]D的绝对[[赋值]] （value） 。

==参考文献==
{{refbegin|2}}
* {{cite book | author=Duncan Buell | title=Binary quadratic forms: classical theory and modern computations | url=https://archive.org/details/binaryquadraticf0000buel | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1989 | isbn=0-387-97037-1}} Chapter 6.
* {{cite book | author=Pierre Samuel | title=Algebraic number theory | publisher=Hermann/Kershaw | year=1972 }}
* {{cite book | author=I.N. Stewart | coauthors=D.O. Tall | title=Algebraic number theory | publisher=Chapman and Hall | year=1979 | isbn=0-412-13840-9 }} Chapter 3.1.
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[[Category:代數數論|E]]
[[Category:域论]]