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{{Unreferenced|time=2014-01-04T03:12:29+00:00}}
{{NoteTA|G1=Math}}

'''二元运算'''是種[[数学]]运算，它的運算結果跟兩個輸入值必須是同種東西，即[[元数]]为2的运算。比如說，兩個[[整數]]的加法是二元运算，因整數相加以後仍然是整數。

== 定义 ==
{{math_theorem
|name=二元運算的定義
|math_statement=
一個集合 <math>A</math> 上的'''二元运算'''是一個定義域是 <math>A \times A</math> 、[[對應域]]  <math>A</math> 的[[函数]]。
}}
如果從[[集合 (数学)|集合]] <math>A</math> 對自己的[[笛卡儿积]] （也就是 <math>A \times A</math> ）取出的任意 <math>(a,\,b)</math> ，都會對應 <math>A</math>的某個值 <math>\mathrm{F}(a,\,b)</math> ，那對應規則 <math>\mathrm{F}</math> 的本身就被稱為二元運算。

<math>\mathrm{F}(a,\,b)</math> 通常写为 <math>a\mathrm{F}b</math> ，而且比起使用字母，二元运算時常以某种运算符表示，來跟普通的函數作區別。

事實上 <math>\mathrm{F}:A \times A\rightarrow A</math> [[函数#定義域與值域|這個記號]]本身就保證了：「只要 <math>a,\,b\in A</math> 就會有 <math>a\mathrm{F}b \in A</math> 」，這個性質也稱為（二元）運算'''封閉性'''。

== 常用性质和术语 ==
关于二元运算有很多常见的性质和术语，列举如下：

=== [[單位元]] ===

设 <math>\circ : A\times A \to A</math> 是集合 <math>A</math> 上的二元运算，<math>e \in A</math>，则：
* 称 <math>e</math> 为一個 <math>A</math> 的'''左幺元'''，若 <math>e</math> 满足：<math>\forall a \in A, e \circ a = a</math>；
* 称 <math>e</math> 为一個 <math>A</math> 的'''右幺元'''，若 <math>e</math> 满足：<math>\forall a \in A, a \circ e = a</math>；
* 称 <math>e</math> 为 <math>A</math> 的'''幺元'''，若 <math>e</math> 既是左幺元、又是右幺元。

=== [[逆元]] ===

设 <math>\circ : A\times A \to A</math> 是集合 <math>A</math> 上帶有單位元 <math>e</math> 的二元运算， <math>a, a' \in A</math> 。则：
* 称 <math>a'</math> 是一個 <math>a</math> 的'''左逆元'''，若 <math>a,a'</math> 满足： <math>a' \circ a = e</math>。
* 称 <math>a'</math> 是一個 <math>a</math> 的'''右逆元'''，若 <math>a,a'</math> 满足： <math>a \circ a' = e</math>。
* 称 <math>a'</math> 是 <math>a</math> 的'''逆元'''，若 <math>a'</math> 既是 <math>a</math> 的'''左逆元'''、又是 <math>a</math> 的'''右逆元'''。這種情況下 <math>a'</math> 常被寫作 <math>a^{-1}</math> 或 <math>-a</math> 。

=== [[零元]] ===

设 <math>\circ : A\times A \to A</math> 是集合 <math>A</math> 上的二元运算， <math>z \in A</math> ，则：
* 称 <math>z</math> 为一個'''左零元'''，若 <math>z</math> 满足： <math> \forall a \in A, z \circ a = z</math> ；
* 称 <math>z</math> 为一個'''右零元'''，若 <math>z</math> 满足： <math> \forall a \in A, a \circ z = z</math> ；
* 称 <math>z</math> 为'''零元'''，若 <math>z</math> 既是左零元、又是右零元。

=== [[零因子]] ===

设 <math>\circ : A\times A \to A</math> 是集合 <math>A</math> 上的帶有零元素 <math>z</math> 的二元运算， <math>a \in A</math> 且 <math>a \neq z</math> 。则：
* 称 <math>a</math> 是一個'''左零因子'''，若 <math>a</math> 满足： <math>\exists b \in A \setminus \{z\}</math> ，使得 <math>a \circ b = z</math> 。
* 称 <math>a</math> 是一個'''右零因子'''，若 <math>a</math> 满足： <math>\exists b \in A \setminus \{z\}</math> ，使得 <math>b \circ a = z</math> 。
* 称 <math>a</math> 是一個'''零因子'''，若 <math>a</math> 既是左零因子、又是右零因子。

=== [[交換律]] ===

设 <math>\circ : A\times A \to A</math> 是集合 <math>A</math> 上的二元运算，则：
称 <math>\circ</math> 满足'''交换律'''，若：<math>\forall a, b \in A, a \circ b = b \circ a</math>；

=== [[结合律]] ===

设 <math>\circ : A\times A \to A</math> 是集合 <math>A</math> 上的二元运算，则：
称 <math>\circ</math> 满足'''结合律'''，若： <math>\forall a, b, c \in A, (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)</math>；

=== [[消去律]] ===

设<math>\circ</math>: <math>A\times A\to A</math>是集合<math>A</math>上的二元运算，则：

称<math>\circ</math>满足'''左消去律'''，若<math>\circ</math>满足：<math>\forall a,b,c\in A, \text{if } a\neq b, \text{then } c\circ a \neq c\circ b</math>

称<math>\circ</math>满足'''右消去律'''，若<math>\circ</math>满足：<math>\forall a,b,c\in A, \text{if } a\neq b, \text{then } a\circ c \neq b\circ c</math>

称<math>\circ</math>满足'''消去律'''，若<math>\circ</math>同时满足左消去律与右消去律。

=== [[幂等|幂等律]] ===

设<math>\circ</math>: <math>A\times A\to A</math>是集合<math>A</math>上的二元运算，则：
称<math>\circ</math>满足'''幂等律'''，若<math>\circ</math>满足：<math>\forall a\in A,a\circ a = a</math>；

=== 幂幺律 ===

设<math>\circ</math>: <math>A\times A\to A</math>是集合<math>A</math>上的二元运算，i是<math>A</math>在<math>\circ</math>下的幺元，
则：称<math>\circ</math>满足'''幂幺律'''，若<math>\circ</math>满足：<math>\forall a\in A,a\circ a = i</math>（显然此时每个元素都是它自己的逆元）；

=== 幂零律 ===

设<math>\circ</math>: <math>A\times A\to A</math>是集合<math>A</math>上的二元运算，z是<math>A</math>在<math>\circ</math>下的零元，
则：称<math>\circ</math>满足'''幂零律'''，若<math>\circ</math>满足：<math>\forall a\in A</math>，有<math>a\circ a = z</math>（显然此时每个元素都是零元素，而且既是左零元素又是右零元素）；

=== [[分配律]] ===

设<math>\circ</math>: <math>A\times A\to A</math>和<math>\diamond</math>: <math>A\times A\to A</math>是集合<math>A</math>上的两个二元运算，则：
* 称<math>\circ</math>对<math>\diamond</math> 满足'''左分配律'''，若<math>\circ</math>，<math>\diamond</math> 满足：<math>\forall a,b,c\in A</math>，有<math>a \circ (b \diamond c) = (a \circ b) \diamond (a \circ c)</math>；
* 称<math>\circ</math>对<math>\diamond</math> 满足'''右分配律'''，若<math>\circ</math>，<math>\diamond</math> 满足：<math>\forall a,b,c\in A</math>，有<math>(b \diamond c) \circ a = (b \circ a) \diamond (c \circ a)</math>；
* 称<math>\circ</math>对<math>\diamond</math> 满足'''分配律'''，若<math>\circ</math>對<math>\diamond</math> 同時滿足左分配律和右分配律。

{{二元運算的性質}}

[[Category:二元运算|*]]
[[Category:二元運算的性質|*]]
[[Category:抽象代数|+]]