查看“︁二元数”︁的源代码

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|G1 = IT
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{{數}}
在[[線性代數]]，'''二元數'''（{{lang-en|Dual number}}）是[[實數]]的延伸。二元數有一「二元數單位」ε，其平方ε<sup>2</sup>＝0（亦即ε是[[冪零元]]）。二元數的集合能在實數之上組成、符合[[交換律]]的[[向量空間的維數|二維]][[環 (代數)|環]][[結合代數]]。全部二元數''z''都有''z''=''a''+''b''ε的特性，其中''a''和''b''是實數。

==矩陣表示法==
二元數可用[[矩陣]]表示為：
:<math>\varepsilon=\begin{pmatrix}0 & 1 \\0 & 0 \end{pmatrix}</math>及<math>a + b\varepsilon = \begin{pmatrix}a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}</math>。

二元數的和與積可以尋常的矩陣加法、矩陣乘法計算。在二元數的代數中，兩種數學運算都符合[[交換律]]、[[結合律]]。

二元數的矩陣表示與[[複數 (數學)|複數]]的矩陣表示類似，但這並非唯一的表示法，參見{{link-en|2×2實矩陣|2 × 2 real matrices}}。如同[[複平面]]與[[雙曲複數]]平面，二元數也是平面代數的實現方式之一。

==幾何==
定義''z''*＝''a''－''b''ε，二元數的「單位圓」包括了那些''a''值為1或−1的二元數，因為''zz''*＝1。然而注意到
:<math> \exp(b \varepsilon) = \left(\sum^\infty_{n=0} (b\varepsilon)^n / n!\right) = 1 + b \varepsilon \!</math>，

所以ε軸的[[指數映射 (李群)|指數映射]]僅涵蓋半「圓」。

若''a''≠0且''m''＝''<math display="inline">{b \over a}</math>''，則''z''＝''a''（1＋''m''ε）為二元數''z''的[[極分解]]，[[斜率]]''m''則與輻角相關。二元數平面中的「旋轉」等價於一個垂直[[錯切]]，原因是（1＋''p''ε）（1＋''q''ε）＝1＋（''p''＋''q''）ε。

===伽利略變換===
在[[絕對時空]]中，[[伽利略變換]]
: <math>(t',x') = (t,x)\begin{pmatrix}1 & v \\0 & 1 \end{pmatrix}</math>，亦即
: <math>\ \ t'=t,\ \  x' = vt + x  \!</math>，

將靜止參考系與帶有[[速度]]''v''移動參考系做聯結。使用二元數，''t''＋''x''ε表示一維空間與時間中的[[事件]]，伽利略變換就可以採乘上（1＋''v''ε）來達成。

===循環===
給定兩個二元數''p''與''q''，它們決定了一組''z''的集合，使得''z''到''p''與''q''的直線的斜率差（伽利略角）是常數。這個集合是二元數平面上的「循環」。設定直線斜率差為常數的方程式是''z''實部的[[二次方程式]]，則一個循環實則是[[拋物線]]。二元數平面的「循環旋轉」實際上是二元數投影線的運動。

根據Isaak Yaglom的著作《简易非欧几何及其物理基础》（1979）（pp.&nbsp;92,3），循環Z＝｛z：y＝αx<sup>2</sup>｝在[[錯切]]的組合中保持不變：
:<math>x_1 = x ,\ \  y_1 = vx + y \ \ </math>
[[平移]]項：
:<math>x' = x_1 = v/2a  ,\ \  y' = y_1 + v^2/4a \ </math>。

這組合是'''循環旋轉'''（cyclic rotation），V. V. Kisil更進一步推演之。<ref>V.V. Kisil (2007) "Inventing a Wheel, the Parabolic One" [http://arxiv.org/abs/0707.4024 arXiv:0707.4024] {{Wayback|url=http://arxiv.org/abs/0707.4024 |date=20201018064405 }}</ref>

==在代數中的特性==
==一般化==
==微分==
==超空間==
==除法==
對於由兩個二元數組成的分數來說，如分母的實數部分非零，我們可計算出那分數的值。二元數除法和複數除法相似：兩者皆把分子和分母乘以分母的[[共軛複數|共軛]]以約去分子和分母的非實數部分。

所以，如要計算這二元數分數的值：
:<math>{a+b\varepsilon \over c+d\varepsilon}</math>
我們需要把分子和分母乘以分母的[[共軛複數|共軛]]：
:<math>= {(a+b\varepsilon)(c-d\varepsilon) \over (c+d\varepsilon)(c-d\varepsilon)}
= {ac-ad\varepsilon+bc\varepsilon-bd\varepsilon^2 \over (c^2+cd\varepsilon-cd\varepsilon-d^2\varepsilon^2)}
= {ac-ad\varepsilon+bc\varepsilon-0 \over c^2-0}</math>
:<math>= {ac + \varepsilon(bc - ad) \over c^2}</math>
:<math>= {a \over c} + {(bc - ad) \over c^2}\varepsilon</math>
而二元數除數在[[除以零|c為非零]]時才有值。

但是，如果c為零而d不為零時，這條方程式：
:<math>{a+b\varepsilon = (x+y\varepsilon) d\varepsilon} = {xd\varepsilon + 0}</math>
#當a非零時沒有解
#當a為零時，以下的二元數都是它的解：
:<math>{b \over d} + {y\varepsilon}</math>。

==冪==
以下是二元數的冪的計算方法：
:<math>(a+b\varepsilon)^{c+d\varepsilon}=a^c+\varepsilon(b (c a^{c-1})+d (a^c \ln a))</math>

==參見==
*[[克利福德代数]]
*[[外代數]]
*[[微擾理論]]

==參考資料==
{{Reflist}}
{{數的系統}}
[[Category:線性代數]]
[[Category:超複數]]
[[Category:交換代數]]
[[Category:微分代数]]