查看“︁二元搜尋樹”︁的源代码

{{NoteTA
|G1 = IT
}}
{{Infobox data structure
|name=Binary search tree
|type=[[樹 (資料結構)|樹]]
|invented_by=P·F·溫德利、[[安德鲁·唐纳德·布思]]、[[安德鲁·科林]]、[[托馬斯·N·希巴德]]
|invented_year=1960年
|space_avg=<math>O(n)</math>
|space_worst=<math>O(n)</math>
|search_avg=<math>O(\log n)</math>
|search_worst=<math>O(n)</math>
|insert_avg=<math>O(\log n)</math>
|insert_worst=<math>O(n)</math>
|delete_avg=<math>O(\log n)</math>
|delete_worst=<math>O(n)</math>
}}
[[File:Binary_search_tree.svg|thumb|150px|3层二叉查找树]]
'''二叉查找树'''（{{lang-en|Binary Search Tree}}），也-{zh-cn:称为'''二叉搜索树'''、; zh-tw:稱為;}-'''有序二叉树'''（{{lang|en|ordered binary tree}}）或'''排序二叉树'''（{{lang|en|sorted binary tree}}），是指一棵空树或者具有下列性质的[[二叉树]]：
# 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值；
# 若任意节点的右子树不空，则右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值；
# 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树；

二叉查找树相比于其他数据结构的优势在于查找、插入的[[时间复杂度]]较低。为<math>O(\log n)</math>。二叉查找树是基础性数据结构，用于构建更为抽象的数据结构，如[[集合 (计算机科学)|集合]]、[[多重集]]、[[关联数组]]等。

二叉查找树的查找过程和[[次优二叉树]]类似，通常采取二叉[[链表]]作为二叉查找树的[[数据结构|存储结构]]。中序遍历二叉查找树可得到一个关键字的有序序列，一个无序序列可以透過建構一棵二叉查找树变成一个有序序列，建構树的过程即为对无序序列进行查找的过程。每次插入的新的结点都是二叉查找树上新的叶子结点，在进行插入操作时，不必移动其它结点，只需改动某个结点的指针，由空变为非空即可。搜索、插入、删除的复杂度等于树高，期望<math>O(\log n)</math>，最坏退化為偏斜二元樹<math>O(n)</math>。對於可能形成偏斜二元樹的問題可以經由樹高改良後的[[平衡树|平衡樹]]將搜尋、插入、刪除的時間複雜度都維持在<math>O(\log n)</math>，如[[AVL树]]、[[红黑树]]等。

== 二叉查找树的查找算法 ==
在二叉查找树b中查找x的過程為：
# 若b是空樹，則搜索失敗，否則：
# 若x等於b的根節點的數據域之值，則查找成功；否則：
# 若x小於b的根節點的數據域之值，則搜索左子樹；否則：
# 查找右子树。

在[https://gallery.selfboot.cn/zh/algorithms/binarysearchtree 二叉搜索树的可视化] {{Wayback|url=https://gallery.selfboot.cn/zh/algorithms/binarysearchtree |date=20241209221342 }}页面可以看到查找节点的动画过程。其中实现代码如下：
<syntaxhighlight lang="cpp">
Status SearchBST(BiTree T, KeyType key, BiTree f, BiTree &p) {
    // 在根指针T所指二叉查找树中递归地查找其關键字等於key的數據元素，若查找成功，
    // 則指针p指向該數據元素節點，并返回TRUE，否則指针指向查找路徑上訪問的最後
    // 一個節點并返回FALSE，指针f指向T的雙親，其初始调用值為NULL
    if (!T) { // 查找不成功
        p = f;
        return false;
    } else if (key == T->data.key) { // 查找成功
        p = T;
        return true;
    } else if (key < T->data.key) // 在左子樹中繼續查找
        return SearchBST(T->lchild, key, T, p);
    else // 在右子樹中繼續查找
        return SearchBST(T->rchild, key, T, p);
}</syntaxhighlight>

== 在二叉查找树插入節点的算法 ==
向一个二元搜尋樹b中插入一个節点s的算法，过程为：
# 若b是空树，则将s所指節点作为根節点插入，否则：
# 若s->data等于b的根節点的数据域之值，则返回，否则：
# 若s->data小于b的根節点的数据域之值，则把s所指節点插入到左子树中，否则：
# 把s所指節点插入到右子树中。（新插入節點總是葉子節點）
<syntaxhighlight lang="cpp">
/* 当二元搜尋樹T中不存在关键字等于e.key的数据元素时，插入e并返回TRUE，否则返回 FALSE */
Status InsertBST(BiTree *&T, ElemType e) {
    if (!T) {
        s = new BiTNode;
        s->data = e;
        s->lchild = s->rchild = NULL;
        T = s; // 被插節点*s为新的根结点
    } else if (e.key == T->data.key)
        return false;// 关键字等于e.key的数据元素，返回錯誤
    if (e.key < T->data.key)
        InsertBST(T->lchild, e);  // 將 e 插入左子樹
    else if (e.key > T->data.key)
        InsertBST(T->rchild, e);  // 將 e 插入右子樹
    return true;
}
</syntaxhighlight>

== 在二叉查找树删除结点的算法 ==
[[File:binary search tree delete.svg|thumb|480px|删除一个有左、右子树的节点]]
在二叉查找树删去一个结点，分三种情况讨论：
# 若*p结点为叶子结点，即PL（左子树）和PR（右子树）均为空树。由于删去叶子结点不破坏整棵树的结构，则只需修改其双亲结点的指针即可。
# 若*p结点只有左子树PL或右子树PR，此时只要令PL或PR直接成为其双亲结点*f的左子树（当*p是左子树）或右子树（当*p是右子树）即可，作此修改也不破坏二叉查找树的特性。
# 若*p结点的左子树和右子树均不空。在删去*p之后，为保持其它元素之间的相对位置不变，可按中序遍历保持有序进行调整，可以有两种做法：其一是令*p的左子树为*f的左/右（依*p是*f的左子树还是右子树而定）子树，*s为*p左子树的最右下的结点，而*p的右子树为*s的右子树；其二是令*p的直接前驱（in-order predecessor）或直接后继（in-order successor）替代*p，然后再从二叉查找树中删去它的直接前驱（或直接后继）。

在二叉查找树上删除一个结点的算法如下：
<syntaxhighlight lang="cpp">
Status DeleteBST(BiTree *T, KeyType key) {
    // 若二叉查找树T中存在关键字等于key的数据元素时，则删除该数据元素，并返回
    // TRUE；否则返回FALSE
    if (!T)
        return false; //不存在关键字等于key的数据元素
    else {
        if (key == T->data.key)   //   找到关键字等于key的数据元素
            return Delete(T);
        else if (key < T->data.key)
            return DeleteBST(T->lchild, key);
        else
            return DeleteBST(T->rchild, key);
    }
}

Status Delete(BiTree *&p) {
    // 该节点为叶子节点，直接删除
    BiTree *q, *s;
    if (!p->rchild && !p->lchild) {
        delete p;
        p = NULL;  // Status Delete(BiTree *&p) 要加&才能使P指向NULL
    } else if (!p->rchild) { // 右子树空则只需重接它的左子树
        q = p->lchild;
        /*
        p->data = p->lchild->data;
        p->lchild=p->lchild->lchild;
        p->rchild=p->lchild->rchild;
        */
        p->data = q->data;
        p->lchild = q->lchild;
        p->rchild = q->rchild;
        delete q;
    } else if (!p->lchild) { // 左子树空只需重接它的右子树
        q = p->rchild;
        /*
        p->data = p->rchild->data;
        p->lchild=p->rchild->lchild;
        p->rchild=p->rchild->rchild;
        */
        p->data = q->data;
        p->lchild = q->lchild;
        p->rchild = q->rchild;
        delete q;
    } else { // 左右子树均不空
        q = p;
        s = p->lchild;
        while (s->rchild) {
            q = s;
            s = s->rchild;
        } // 转左，然后向右到尽头
        p->data = s->data;  // s指向被删结点的“前驱”
        if (q != p)
            q->rchild = s->lchild;  // 重接*q的右子树
        else
            q->lchild = s->lchild;  // 重接*q的左子树
        delete s;
    }
    return true;
}
</syntaxhighlight>
在[[C语言]]中有些编译器不支持为<code>struct Node</code> [[节点]]分配空间，声称这是一个不完全的结构，可使用一个指向该<code>Node</code>的[[指针]]为之分配空间。
*如：<code>sizeof( Probe )</code>，<code>Probe</code>作为二叉树节点在<code>typedef</code>中定义的指针。

Python实现：
<syntaxhighlight lang="python">
def find_min(self):   # Gets minimum node (leftmost leaf) in a subtree
    current_node = self
    while current_node.left_child:
        current_node = current_node.left_child
    return current_node

def replace_node_in_parent(self, new_value=None):
    if self.parent:
        if self == self.parent.left_child:
            self.parent.left_child = new_value
        else:
            self.parent.right_child = new_value
    if new_value:
        new_value.parent = self.parent

def binary_tree_delete(self, key):
    if key < self.key:
        self.left_child.binary_tree_delete(key)
    elif key > self.key:
        self.right_child.binary_tree_delete(key)
    else: # delete the key here
        if self.left_child and self.right_child: # if both children are present
            successor = self.right_child.find_min()
            self.key = successor.key
            successor.binary_tree_delete(successor.key)
        elif self.left_child:   # if the node has only a *left* child
            self.replace_node_in_parent(self.left_child)
        elif self.right_child:  # if the node has only a *right* child
            self.replace_node_in_parent(self.right_child)
        else: # this node has no children
            self.replace_node_in_parent(None)
</syntaxhighlight>

==二叉查找树的遍历==
中序遍历（in-order traversal）二叉查找树的Python代码：
<syntaxhighlight lang="python">
def traverse_binary_tree(node, callback):
    if node is None:
        return
    traverse_binary_tree(node.leftChild, callback)
    callback(node.value)
    traverse_binary_tree(node.rightChild, callback)
</syntaxhighlight>
==排序（或称构造）一棵二叉查找树==
用一组数值建造一棵二叉查找树的同时，也把这组数值进行了排序。其最差时间复杂度为<math>O(n^2)</math>。例如，若该组数值已经是有序的（从小到大），则建造出来的二叉查找树的所有节点，都没有左子树。自平衡二叉查找树可以克服上述缺点，其时间复杂度为O(''n''log ''n'')。一方面，树排序的问题使得CPU Cache性能较差，特别是当节点是动态内存分配时。而堆排序的CPU Cache性能较好。另一方面，树排序是最优的增量排序（incremental sorting）算法，保持一个数值序列的有序性。

<syntaxhighlight lang="python">
def build_binary_tree(values):
    tree = None
    for v in values:
        tree = binary_tree_insert(tree, v)
    return tree

def get_inorder_traversal(root):
    '''
    Returns a list containing all the values in the tree, starting at *root*.
    Traverses the tree in-order(leftChild, root, rightChild).
    '''
    result = []
    traverse_binary_tree(root, lambda element: result.append(element))
    return result
</syntaxhighlight>

== 二叉查找树性能分析 ==
每个结点的<math>C_i</math>为该结点的层次数。最坏情况下，当先后插入的关键字有序时，构成的二叉查找树蜕变为[[单支树]]，树的深度为<math>n</math>，其平均查找长度为<math>\frac{n+1}{2}</math>（和顺序查找相同），最好的情况是二叉查找树的形态和折半查找的判定树相同，其平均查找长度和<math>\log_2(n)</math>成正比（<math>O(\log_2(n))</math>）。

== 二叉查找树的优化 ==
{{main|平衡树}}
一般的二叉查找树的查询复杂度取决于目标结点到树根的距离（即深度），因此当结点的深度普遍较大时，查询的均摊复杂度会上升。为了实现更高效的查询，产生了'''平衡树'''。在这里，平衡指所有叶子的深度趋于平衡，更广义的是指在树上所有可能查找的均摊复杂度偏低。

== 参见 ==
* [[平衡二叉搜索树]]
* [[跳躍列表]]

== 外部链接 ==
* [https://gallery.selfboot.cn/zh/algorithms/binarysearchtree 二叉搜索树的可视化页面] {{Wayback|url=https://gallery.selfboot.cn/zh/algorithms/binarysearchtree |date=20241209221342 }} 支持动画显示二叉搜索树的插入，查找和删除操作。
* [http://en.literateprograms.org/Category:Binary_search_tree Literate implementations of binary search trees in various languages]{{Wayback|url=http://en.literateprograms.org/Category:Binary_search_tree |date=20170421105424 }} on LiteratePrograms
* [http://btv.melezinek.cz Binary Tree Visualizer]{{Wayback|url=http://btv.melezinek.cz/ |date=20131220204401 }} (JavaScript animation of various BT-based data structures)
* {{cite web|url=http://people.ksp.sk/~kuko/bak/|title=Binary Search Trees|last=Kovac|first=Kubo|publisher=Korešponden?ný seminár z programovania|format=[[Java applet]]|access-date=2018-04-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20180430045919/https://people.ksp.sk/~kuko/bak/|archive-date=2018-04-30|dead-url=yes}} {{Wayback|url=http://people.ksp.sk/~kuko/bak/ |date=20180430045919 }}
* {{cite web|url=http://jdserver.homelinux.org/wiki/Binary_Search_Tree|title=Binary Search Tree|last=Madru|first=Justin|date=18 August 2009|work=JDServer|deadurl=yes|archiveurl=https://web.archive.org/web/20100328221436/http://jdserver.homelinux.org/wiki/Binary_Search_Tree|archivedate=2010-03-28|df=|accessdate=2018-04-29}} {{Wayback|url=http://jdserver.homelinux.org/wiki/Binary_Search_Tree |date=20100328221436 }} C++ implementation.
* [http://code.activestate.com/recipes/286239/ Binary Search Tree Example in Python]{{Wayback|url=http://code.activestate.com/recipes/286239/ |date=20100311192315 }}
* {{cite web|url=http://msdn.microsoft.com/en-us/library/1sf8shae%28v=vs.80%29.aspx|title=References to Pointers (C++)|year=2005|work=[[微软开发者网络]]|publisher=[[微软]]|accessdate=2018-04-29|archive-date=2017-03-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20170329051429/https://msdn.microsoft.com/en-us/library/1sf8shae(v=vs.80).aspx|dead-url=no}} {{Wayback|url=http://msdn.microsoft.com/en-us/library/1sf8shae%28v=vs.80%29.aspx |date=20170329051429 }} Gives an example binary tree implementation.

{{计算机科学中的树}}

[[Category:带有C++代码示例的条目]]
[[Category:带有Python代码示例的条目]]
[[Category:数据结构]]
[[Category:二叉树]]
[[Category:搜索树]]