查看“︁乘法群”︁的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
}}
{{群论}}
[[数学]]与[[群论]]中，'''乘法群'''指下列概念之一：
*[[域 (数学)|域]]、[[环 (代数)|环]]或运算中含有“乘法”的其他结构，可[[逆元素]]形成'''乘法下的[[群]]'''。对域''F''，群是<math>(F\backslash\{0\},\ \cdot)</math>，其中0指''F''的[[零元]]，[[二元运算]]<math>\cdot</math>是域[[乘法]]；
*[[代数环面]]<math>{\rm GL}(1)</math>。

== 例子 ==
*[[整数模n乘法群]]是<math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>的可逆元与乘法形成的群。''n''是合数时，除了0之外还有其他不可逆元。
* [[正数]]<math>\mathbb{R}^+</math>的乘法群是[[阿贝尔群]]，1是其[[单位元]]。[[对数]]是此群到实数<math>\mathbb{R}</math>[[加法群]]的[[群同构]]。
* 域''F''的乘法群是乘法下所有非零元的集合：<math>F^\times = F -\{0\}</math>。若''F''是''q''阶[[有限域]]（如<math>q=p</math>是素数，且<math>F = \mathbb F_p=\mathbb Z/p\mathbb Z</math>），则乘法群是[[循环群]]：<math>F^\times \cong C_{q-1}</math>。

==单位根的群概形==
'''''n''次[[单位根]]的群概形'''是乘法群<math>{\rm GL}(1)</math>上''n''次幂映射的核，可视作[[群概形]]。即，对任意整数<math>n>1</math>，可考虑乘法群上取''n''次幂的态射，并取适当的[[纤维积]]，其中态射''e''充当单位。

产生的群概形写作<math>\mu_{n}</math>（或<math>\mu\!\!\mu_n</math><ref>{{cite book | last=Milne | first=James S. | title=Étale cohomology | publisher=Princeton University Press | year=1980 | pages=xiii, 66 }}</ref>）。当且仅当''K''的[[特征 (代数)|特征]]不整除''n''时，将其放在域''K''上会产生[[既约概形]]，这使其产生未约概形（[[幂零元]]在其[[结构层]]中的概形）的一些重要例子，如''p''元[[有限域]]上的<math>\mu_p</math>，''p''表示任意[[素数]]。

此现象不易用代数几何的经典语言表达。例如，它在表达特征''p''中的阿贝尔簇的对偶理论（[[皮埃尔·卡地亚]]的理论）时就显得非常重要。此群概形的伽罗瓦上同调是表示[[库默尔理论]]的一种方式。

== 另见 ==
*[[整数模n乘法群]]
*[[加法群]]

== 注释 ==
<references/>

== 参考文献 ==
* [[Michiel Hazewinkel]], Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. ''Algebras, rings and modules''. Volume 1. 2004. Springer, 2004. {{isbn|1-4020-2690-0}}

{{DEFAULTSORT:Multiplicative Group}}
[[Category:代数结构]]
[[Category:群论]]
[[Category:域]]