查看“︁乘法”︁的源代码

{{noteTA
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[[File:Three by Four.svg|thumb|3×4 = 12]]
{{算术运算}}
在[[数学]]中，'''乘法'''（{{lang|en|multiplication}}）是[[加法]]的連續[[運算]]，同一数的若干次连加，其運算結果稱為'''積'''（{{lang|en|product}}）。

:<math>\underbrace{a+a+a+ \cdots +a}_{n} = a \times n</math>

須注意的是，華人地區有將四則運算的被運算數和運算數統一位置，所以被乘數放前面，乘數放後面。唸作「a 乘以 n」或「n 乘 a」。
但在其它語言（如英文）中，有可能乘數是放在前的，寫作 <math>n \times a</math> ，唸作「n times a」。

== 表示法 ==
乘法可以用幾種方法表示。以下的式子表示“五乘以二”：
* <math>5 \times 2</math>
* <math>5 \cdot 2</math>
* <math>5 * 2</math>
* <math>(5)(2)</math>

古代常用的方法是將兩個數並排，沒有甚麼特別的符號來表示乘法。

以「<math>\times</math>」表示乘法是[[威廉·奧特雷德]]最先使用，分別於一篇現時相信是於1618年他寫的附錄，和約於1628年寫作的、1631年出版的書《數學之鑰》（{{lang|la|Clavis Mathematicae}}）內出現。以「<math>\times</math>」表示乘法是現在最流行的寫法。在[[電腦]][[文書]]中，也有為方便鍵盤輸入而以[[小寫字母|小寫]][[英文字母]]「x」替代「×」。

以「<math>\cdot</math>」表示乘法現在用於[[德國]]和[[法國]]等國家，最早由[[托马斯·哈里奥特]]在1631年出版的著作使用，但對這個用法較有影響力的人是[[萊布尼茲]]。

因為星號「<math>*</math>」是[[鍵盤]]必備的符號，電腦常用星號表示乘號，第一次在[[电子计算机|計算機]]使用這個用法的是[[FORTRAN]]（福傳）[[編程語言]]，事實上可以追溯到更早——1659年，Johann Rahn（1622年－1676年）在''Teutsche Algebra''一書中首次使用；但筆算時很少使用星號。

[[代数]]中，乘號經常省略掉，形式如<math>5x</math>和<math>xy</math>。若變數多於一個字母，容易使人混淆。這種表示法不會用於只有數字時，即<math>5 \times 2</math>不會表示成<math>52</math>。

乘積可以用[[大写字母|大写]][[希腊字母表|希臘字母]][[Π]]（Pi，<math>\Pi</math>）來表示：
: <math> \prod_{i=m}^{n} x_{i} := x_{m} \cdot x_{m+1} \cdot x_{m+2} \cdot \ldots \cdot x_{n-1} \cdot x_{n}</math>

== 定義 ==
兩個[[整數]]的積是：

:<math>mn = \sum_{k=1}^n m</math>

這是“將m加到自己n次”的簡化說法。更清晰來說：

:<math>mn = \underbrace{m+m+m+ \cdots +m}_{n}</math>

使用上面的定義，我們很易找到一些乘法的性質：
* [[交換律]]：<math>xy = yx</math>
* [[結合律]]：<math>(xy)z = x(yz)</math>
* [[分配律]]：<math>x(y + z) = xy + xz</math>

將任何數乘以一都會等於該數本身，即<math>1x = x</math>，稱為[[單位元|單位律]]。

將任何數乘以零，即是甚麼也沒做過，結果就是零，即<math>0x = 0</math>。

當<math>x</math>是[[量 (数学)|量]]，<math>y</math>是[[自然數]]，乘法的[[递归]]定義：
:<math>0x = 0</math>
:<math>xy = x + x(y - 1)</math>

== 历史 ==
[[File:Multiplication algorithm.GIF|thumb|left|150px|孙子筹算乘法]]
[[File:Gelosia multiplication 45 256.png|thumb|150px|印度的格子乘法]]
最早最详细的关于[[十进位制]]乘法的规则，首见西元400年左右[[孙子算经]]。[[筹算#乘法|孙子乘法]]在9世纪经[[花拉子米]]介绍而流行于阿拉伯国家，13世纪被翻译成拉丁文而流行西方。

印度的格子乘法在唐代流入中国，在9世纪初经[[花拉子米]]介绍到阿拉伯，但都未能流行。
{{Clear}}

== 計算 ==
{{unsolved|计算机科学|计算两个n位数相乘的最快算法是什么？}}
* [[電腦]]有特別的算法來處理[[大數 (數學)|大數]]之間的相乘，見[[乘法算法]]。
* [[華人]][[小學生]]通常要背誦[[九九乘法表]]來學習乘法。
* [[史豐收]]速算法提出了用“本個 +後進”的方式來計算乘法。
* [[尺規作圖]]作乘法的方法：給定長為<math>1</math>的線，以及兩條線<math>AB</math>和<math>AC</math>，求長度為該兩條的線長度的積的線。解法：設該兩條線分別為<math>AB</math>和<math>AC</math>，<math>AB</math>垂直<math>AC</math>于<math>A</math>。在<math>AB</math>上畫出點<math>D</math>使<math>DA=1</math>，連<math>D</math>、<math>C</math>為<math>DC</math>。畫一條通過<math>B</math>、平行<math>DC</math>的線，延長<math>AC</math>，此兩條線的交於<math>E</math>，<math>EA</math>即為所求之線。

== 參考 ==
{{Reflist}}

{{四则运算}}

{{Authority control}}
[[Category:二元運算]]
[[Category:數學表示法]]
[[Category:乘法]]