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在[[拓扑学]]中，'''乌雷松引理'''，有时称为“拓扑学中的第一非平凡事实”，通常用于构造[[正规空间]]上不同性质的[[连续函数 (拓扑学)|连续函数]]。这个定理有广泛的应用，因为所有的[[度量空间]]和[[紧空间|紧]][[豪斯多夫空间]]都是正规的。

这个引理是以[[帕维尔·萨穆伊洛维奇·乌雷松]]命名的。

==正式表述==
乌雷松引理说明，<math>X</math> 是一个[[正规空间|正规]][[拓扑空间]]，当且仅当只要 <math>A</math> 和 <math>B</math> 是 <math>X</math> 的[[不交集|不交]][[闭集|闭子集]]，就存在一个从 <math>X</math> 到[[单位区间]] <math>[0,1]</math> 的连续函数：
:<math>f:X\to[0,1]</math>，
使得对于所有 <math>a\in A</math>，都有 <math>f(a)=0</math>，而对于所有 <math>b\in B</math>，都有 <math>f(b)=1</math>。 

任何满足这个性质的函数''f''都称为'''乌雷松函数'''。

注意 <math>A</math> 和 <math>B</math> 以外的元素 <math>x\notin A\cup B</math> 並不需要使得 <math>f(x)\neq 0</math> 或 <math>f(x)\neq 1</math>。这只在完备正规空间中才有可能。

乌雷松引理导致了其它拓扑空间，例如「吉洪诺夫性质」和「[[完全豪斯多夫空间]]」的表述。例如，这个引理的一个推论是：正规的[[T1空间|''T''<sub>1</sub>空间]]是[[吉洪诺夫空间]]。

==证明==
[[File:Urysohn-function01.png|thumb|250px|乌雷松的[[洋葱]]函数。]]
对于每一个[[二进分数]] <math>r\in(0,1)</math>，我们构造 <math>X</math> 的一个[[开集|开子集]] <math>U(r)</math>，使得：
# <math>A\subseteq U(r)</math>，且对于所有的 <math>r</math>，<math>U(r)\cap B=\varnothing </math>；
# 对于 <math>r<s</math>，<math>U(r)</math> 的[[閉包 (拓撲學)|閉包]]位于 <math>U(s)</math> 内。
有了这些集合以后，我们便定义 <math>f(x)=\inf_{x\in U(r)} r</math> 对于所有 <math>x\in X</math>。利用二进有理数是稠密的事实，便不难证明 <math>f</math> 是连续的，且具有性质 <math>f(A)\subseteq\{0\}</math> 和 <math>f(B)\subseteq\{1\}</math>。

为了构造集合 <math>U(r)</math>，我们还需要做更多事情：我们构造集合 <math>U(r)</math> 和 <math>V(r)</math>，使得：
* 对于所有的 <math>r</math>，都有 <math>A\subseteq U(r)</math> 且 <math>B\subseteq V(r)</math>；
* 对于所有的 <math>r</math>，<math>U(r)</math> 和 <math>V(r)</math> 都是开集和不交的；
* 对于 <math>r<s</math>，<math>V(s)</math> 包含在 <math>U(r)</math> 的补集之内，而 <math>V(r)</math> 的补集包含在 <math>U(s)</math> 之内。
由于 <math>V(r)</math> 的补集是闭集，且含有 <math>U(r)</math>，因此从最后一个条件可以推出上面的条件 (2)。

我们使用[[数学归纳法]]。由于 <math>X</math> 是正规的，我们便可以找出两个不交的开集 <math>U(1/2)</math> 和 <math>V(1/2)</math>，分别含有 <math>A</math> 和 <math>B</math>。现在假设 <math>n\geq 1</math>，且集合 <math>U(a/2^n)</math> 和 <math>V(a/2^n)</math> 对于 <math>a=1,\ldots,2^n-1</math> 已经构造了。由于 <math>X</math> 是正规的，我们便可以找出两个不交的开集，分别含有 <math>V(a/2^n)</math> 的补集和 <math>U((a+1)/2^n)</math> 的补集。称这两个开集为 <math>U((2a+1)/2^{n+1})</math> 和 <math>V((2a+1)/2^{n+1})</math>，并验证以上的三个条件成立。

== 参考文献 ==
{{Reflist}}
* {{planetmath reference|id=3597|title=proof of Urysohn's lemma|urlname=proofofurysohnslemma}}

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{{点集拓扑}}

[[Category:引理]]
[[Category:点集拓扑学]]
[[Category:分离公理]]