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[[Image:Minimal surface curvature planes-en.svg|thumb|300px|right|[[鞍面]]中在主曲率方向的法平面]]

在[[微分几何]]中，在[[曲面]]给定点的两个'''主曲率'''（{{lang|en|principal curvatures}}）衡量了在给定点一个曲面在这一点的不同方向怎样不同弯曲的程度。

在曲面上取一点<math>E</math>，曲面在<math>E</math>点的法线为z轴，过z轴可以有无限多个剖切平面，每个剖切平面与曲面相交，其交线为一条平面曲线，每条平面曲线在<math>E</math>点有一个曲率半径。不同的剖切平面上的平面曲线在<math>E</math>点的曲率半径一般是不相等的。这些曲率半径中，有一个最大和最小的曲率半径，称之为主曲率半径，记作<math>k_1</math>与<math>k_2</math>，这两个曲率半径所在的方向，数学上可以证明是相互垂直的。

这里一条曲线的曲率由定义是[[密切圆]][[半径]]的[[倒数]]。当曲线转向与平面给定法向量相同方向时，曲率取正值，否则取负值。当曲率取最大与最小值的两个法平面方向总是垂直的，这是[[莱昂哈德·欧拉|欧拉]]在1760年的一个结论，称之为'''主方向'''。从现代的观点来看，这个定理来自[[谱定理]]因为它们可以作为对应于[[高斯映射]]微分的一个[[对称矩阵]]的[[本征向量]]。对主曲率和主方向的系统研究由[[让·加斯东·达布|达布]]使用[[达布标架]]完成。

两个主曲率的乘积<math>k_1 k_2</math>是[[高斯曲率]]<math>K</math>，而平均值<math>\frac{k_1 + k_2}{2}</math>是[[平均曲率]]<math>H</math>。

如果在每一点至少有一个主曲率是零，则[[高斯曲率]]是零，这种曲面是[[可展曲面]]。对[[极小曲面]]，平均曲率在每一点是零。

==正式定义==
设<math>M</math>是欧几里得空间中一个曲面，[[第二基本形式]]为<math>II(X,Y)</math>。固定一点<math>p\in M</math>，以及在<math>p</math>点切空间的一个[[标准正交基]]<math>X_1</math>、<math>X_2</math>。则主曲率是如下对称矩阵的本征值
:<math>\left[I\!I_{ij}\right] = 
\begin{bmatrix}
I\!I(X_1,X_1)&I\!I(X_1,X_2)\\
I\!I(X_2,X_1)&I\!I(X_2,X_2)
\end{bmatrix}.</math>

如果选取<math>X_1</math>与<math>X_2</math>使得矩阵<math>[II_{ij}]</math>是一个对角矩阵，则它们称为主方向。如果曲面已[[定向 (数学)|定向]]，则通常要求<math>(X_1, X_2)</math>与给定的定向相同。

若没有一个特定的标准正交基，主曲率是[[形算子]]的本征值，而主方向是本征向量。

=== 推广 ===
对高维欧几里得空间中超曲面，主曲率可类似地定义。主曲率是第二基本形式在一个标准正交基下矩阵<math>II(X_i, X_j)</math>的本征值，主方向是对应的本征向量。

类似地，如果<math>M</math>是[[黎曼流形]]<math>N</math>中一个超曲面，则主曲率是其第二基本形式的本征值。如果<math>k_1, \cdots , k_n</math>是点<math>p\in M</math>的<math>n</math>个主曲率而<math>X_1, \cdots ,X_n</math>是对应的标准正交本征向量（主方向），则<math>M</math>在<math>p</math>的[[截面曲率]]为

:<math>K(X_i,X_j) = k_i k_j.\,</math>

==曲面上点的分类==

*在'''椭圆型'''（{{lang|en|elliptical}}）点，两个主曲率有同样的符号，而曲面是局部凸的。
**在'''[[脐点]]'''（{{lang|en|umbilic point}}），两个主曲率相等而任意切向量可作为主方向。这通常出现于离散点。
*在'''双曲型'''（{{lang|en|hyperbolic}}）点，主曲率的符号相反，曲面局部是鞍形。
*在'''抛物型'''（{{lang|en|parabolic}}）点，一个主曲率是零。抛物型点通常位于分离椭圆型点与双曲型点的一条曲线上。
**在'''平脐点'''（{{lang|en|flat umbilic point}}）两个主曲率都是零。一般曲面没有平脐点，[[猴鞍面]]具有离散平脐点。

==曲率线==
'''曲率线'''（{{lang|en|lines of curvature 或 curvature lines}}）是总与一个主方向相切的曲线，它们是主方向场的[[积分曲线]]。过每个非脐点有两条曲率线，它们相交成直角。

在一个脐点附近曲率线有三类布局：星形（{{lang|en|star}}）、柠檬形（{{lang|en|lemon}}）以及檬星形（{{lang|en|monstar，源于 ''lemon-star''}}）<ref>Berry, M V, & Hannay, J H, 'Umbilic points on Gaussian random surfaces', J.Phys.A 10, 1977, 1809-21, .</ref>。为了纪念达布，这些点也称为达布脐点，他最先在他1896年的课程（Vol. 4, p455）中做了系统性研究。

<gallery Caption="脐点附近的曲率线布局" widths="150px">
Image:TensorLemon.png|柠檬形
Image:TensorMonstar.png|檬星形
Image:TensorStar.png|星形
</gallery>

在这些布局中，红色曲线是一类主方向的曲率线，而蓝色曲线是另一类的。

当一条曲率线对同一个主曲率有一个局部极值，则此曲线有一个[[脊点]]（{{lang|en|ridge point}}）。曲面上曲线的脊点称为'''脊'''。脊曲线经过脐点。对星形布局有 3 条或 1 条脊线经过脐点，对 monstar 与 lemon 只有一条脊线经过<ref>{{citation|last=Porteous|first=I. R.|title=Geometric Differentiation|publisher=Cambridge University Press|year=1994|isbn=0-521-39063-X}}</ref>。

==参考文献==
* {{cite book|first=Gaston|last=Darboux|year=1887,1889,1896|title=Leçons sur la théorie génerale des surfaces: [http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABV4153.0001.001 Volume I], [http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABV4153.0002.001 Volume II], [http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABV4153.0003.001 Volume III], [http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABV4153.0004.001 Volume IV]
|publisher=Gauthier-Villars}}
* {{cite book|first=Heinrich|last=Guggenheimer|title=Differential Geometry|year=1977|publisher=Dover|chapter=Chapter 10. Surfaces|isbn=0-486-63433-7}}
*{{cite book | author=Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi | title = Foundations of Differential Geometry, Vol. 2 | publisher=Wiley-Interscience | year=1996 (New edition) |isbn = 0471157325}}
* {{cite book|last=Spivak|first=Michael|title=A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 3)|year=1999|publisher=Publish or Perish|isbn=0-914098-72-1}}

<references/>

==外部链接==

*[http://front.math.ucdavis.edu/0411.5403 Historical Comments on Monge's Ellipsoid and the Configuration of Lines of Curvature on Surfaces Immersed in '''R'''<sup>3</sup>]{{Webarchive|url=https://archive.today/20121215002045/http://front.math.ucdavis.edu/0411.5403 |date=2012-12-15 }}

{{曲率}}

[[Category:曲率]]
[[Category:曲面的微分几何]]
[[Category:曲面]]