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[[File:Dandelin_spheres.svg|右|缩略图|397x397像素|丹迪林雙球與切過㘣錐的淡黃色平面相切。]]
在[[几何学]]中，'''丹德林球'''是指一個或两個球體，它們與[[圓錐]]相切，同時也與另一個與此圓錐相交的[[平面 (数学)|平面]]相切。圓錐與平面的截㡾則形成[[圆锥曲线]]，而任一球體與平面相接的點則是圓錐曲線的[[焦點 (幾何)|焦點]]。因此丹德林球有时也稱為'''焦球'''。

丹德林球是在 1822 年發現的。<ref name="Taylor">{{Cite journal|title=Mémoire sur quelques propriétés remarquables de la focale parabolique|url=https://www.biodiversitylibrary.org/item/101263#page/349/mode/1up|last=Dandelin|first=G.|date=1822|journal=Nouveaux mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres de Bruxelles|volume=2|pages=171–200|language=fr|trans-title=Memoir on some remarkable properties of the parabolic ''focale'' [i.e., oblique strophoid|access-date=2021-10-28|archive-date=2021-11-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20211113041146/https://www.biodiversitylibrary.org/item/101263#page/349/mode/1up}}</ref>  它是為紀念[[法国]]數學家[[當德蘭·皮埃爾·丹德林]]（Germinal Pierre Dandelin）而名, 但[[朗伯·阿道夫·雅克·凯特勒]] 也有部分貢獻。<ref>{{Cite journal|title=Le mathématicien Adolphe Quetelet (1796-1874)|url=http://adsbit.harvard.edu//full/1928C%26T....44...60G/0000060.000.html|last=Godeaux|first=L.|date=1928|journal=Ciel et Terre|volume=44|pages=60–64|language=fr|access-date=2021-10-28|archive-date=2021-10-28|archive-url=https://web.archive.org/web/20211028102024/http://adsbit.harvard.edu//full/1928C%26T....44...60G/0000060.000.html}}</ref>

丹德林球的用途，通常是用來為已[[阿波罗尼奥斯]]所知的兩個定理提供优雅的现代证明。第一个定理是，所有與两个固定点（焦点）的距离之和是常数的點，其[[轨迹]]是闭合圓錐曲線（即[[椭圆]]）。第二个定理是，对于任圓錐曲線，到定点（焦点）的距离与到定线（[[圆锥曲线|準線]]）的距离成正比，比例常数称为[[離心率|偏心率]]。 <ref name="Heath">Heath, Thomas. ''A History of Greek Mathematics'', [https://books.google.com/books?id=7DDQAAAAMAAJ&pg=PA119&lpg=PA119&dq=focus-directrix+property&source=bl&ots=f73ypoeqO6&sig=tToUEkaGhF-JaajlrSGPvvWEq4Q&hl=en&ei=KODgSYGPAde6nAeclfmzCQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2 page 119 (focus-directrix property)] {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=7DDQAAAAMAAJ&pg=PA119&lpg=PA119&dq=focus-directrix+property&source=bl&ots=f73ypoeqO6&sig=tToUEkaGhF-JaajlrSGPvvWEq4Q&hl=en&ei=KODgSYGPAde6nAeclfmzCQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2 |date=20211028102023 }}, [https://books.google.com/books?id=7DDQAAAAMAAJ&pg=PA119&lpg=PA119&dq=focus-directrix+property&source=bl&ots=f73ypoeqO6&sig=tToUEkaGhF-JaajlrSGPvvWEq4Q&hl=en&ei=KODgSYGPAde6nAeclfmzCQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2#PPA542,M1 page 542 (sum of distances to foci property)] {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=7DDQAAAAMAAJ&pg=PA119&lpg=PA119&dq=focus-directrix+property&source=bl&ots=f73ypoeqO6&sig=tToUEkaGhF-JaajlrSGPvvWEq4Q&hl=en&ei=KODgSYGPAde6nAeclfmzCQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2#PPA542,M1 |date=20211028102023 }} (Clarendon Press, 1921).</ref>

圓錐曲線的每个焦点都會有一個丹德林球。椭圆有两个丹德林球，它們會相切於相同的錐體，而[[双曲线]]則有两个丹德林球，卻是接触相反的錐體。[[抛物线]]則只有一个丹德林球。

== 截面曲線到焦点的距离之和為定值的證明 ==

<!-- 請勿在此稱曲線為"橢圓"。
這個曲線是橢㘣這件事仍需證明，但在這個時間點，它尚未證明。
-->
解釋如下，設 S 為此圓錐的頂點，平面 ''e'' 與此圓錐交於曲線 ''C''（藍色區域）。以下則證明 ''C'' 是橢圓。

放置兩個棕色的丹德林球''G''<sub>1</sub> 和 ''G''<sub>2</sub>，皆與平面和圓錐相交，上面的為''G''<sub>1</sub>，下面的為''G''<sub>2</sub>。而兩個球體與錐體相切的點形成圓形（白色的部分），分別記為<math>k_1</math> 与 <math>k_2</math>。

將 ''G''<sub>1</sub> 與此平面的切點記為 ''F''<sub>1</sub> ；類似地，用於''G''<sub>2</sub> 與''F''<sub>2</sub>。''P'' 為曲線 ''C'' 上一點。

''需要證明''：當 ''P'' 沿著截面曲線 ''C'' 移動時，<math> d(P,F_1) + d(P,F_2)</math> 仍是定值（橢圓的定義之一）。
* 將 ''P'' 與圓錐頂點 ''S'' 作一直線，與 ''G''<sub>1</sub> 和 ''G''<sub>2</sub> 分別交於 ''P''<sub>1</sub> 和 ''P''<sub>2</sub> 。
* 將 ''P'' 移動時，''P''<sub>1</sub> 和 ''P''<sub>2</sub> 則沿著兩個圓移動，且其距離 <math> d(P_1,P_2)</math> 是定值。
* ''P'' 和 ''F''<sub>1</sub> 的距離會等同於 ''P'' 到 ''P''<sub>1</sub> 的距離，因為線段 ''PF''<sub>1</sub> 和 ''PP''<sub>1</sub> 都[[相切]]於''G''<sub>1</sub>。
* 基於對稱性，''P'' 到 ''F''<sub>2</sub> 的距離，等於 ''P'' 到 ''P''<sub>2</sub> 的距離，因為線段 ''PF''<sub>2</sub> 和 ''PP''<sub>2</sub> 都[[相切]]於''G''<sub>2</sub>
* 於是，我們計算出其距離和 <math> d(P,F_1) + d(P,F_2) \ =\ d(P,P_1) + d(P,P_2) \ =\ d(P_1,P_2)</math> 是定值。

這是用以證明[[阿波罗尼奥斯]]定理的另一個證明。

如果我們定義橢圓為與兩交點的距離和為定義的 P 的集合，則上述論述證明了此曲線確實是橢圖。此面，平面與圓錐截痕會以 ''F''<sub>1</sub> 和 ''F''<sub>2</sub> 的中垂線對稱這論述，看起來像是違反直覺，但此方法則讓其顯而易見。的則是因為焦點可互換。

[[File:Zylinder-dandelin.svg|thumb|Cylinder case]]

同樣是平面和圓錐的截面，上述論述也可改編後適用於[[雙曲線]]和[[拋物線]]。另一個改編則是將橢圓理解為平面於垂直[[圆柱体]]的截面。

== 焦點－準線性質的證明 ==
丹德林球同樣也可用來發現圓錐截面的''準線''。每個丹德林球與㘣錐相切的點會形成圓形，而由這些圓形可定義出它的所在的平面且平行。
而它們與原平面的截痕則會是平行線，此即為準線。然而，拋物線則會有一個丹德林球，因此只有一個準線。

使用丹德林球，可以證明此截痕：「與焦點的距離和準線的距離成比例」。<ref>Brannan, A. et al.  ''Geometry'', [https://books.google.com/books?id=q49lhAzXTFEC&pg=PA5&dq=dandelin+and+directrix&as_brr=3&ei=if3fSc2tGZ3CMoGTzLEN#PPA19,M1 page 19] {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=q49lhAzXTFEC&pg=PA5&dq=dandelin+and+directrix&as_brr=3&ei=if3fSc2tGZ3CMoGTzLEN#PPA19,M1 |date=20211029040259 }} (Cambridge University Press, 1999).</ref> 古希臘數學家，如[[阿波羅尼奧斯]] ，認知到此性質，而丹德林球則給出了證明。<ref name="Heath" />

但丹德林或Quetelet 都沒使用丹德林球來證明此屬性。第一個如此做的人可能是 1829 年的 Pierce Morton<ref>{{Cite web |url=http://www.numericana.com/fame/bio.htm |title=Numericana's  Biographies:  Morton, Pierce |access-date=2021-10-29 |archive-date=2022-01-21 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220121164408/http://www.numericana.com/fame/bio.htm }}</ref>，又或者可能是 Hugh Hamilton (bishop) 在 1758 年時記下的「一個與圓錐相切於球，可用來定義了一個新平面，與原平面的截痕即為準線」。<ref name="Taylor" /><ref>Morton, Pierce.  ''Geometry, Plane, Solid, and Spherical, in Six Books'', [https://books.google.com/books?id=z6EAAAAAYAAJ&dq=%22Geometry,+Plane+Solid+and+Spherical%22&printsec=frontcover&source=bl&ots=1S8Acu0GaD&sig=wWJfp-LKyy0DdFRXaTxblz373qU&hl=en&ei=ZBjhSaaMPMTmnQf1q4y1CQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1#PPA228,M1 page 228] {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=z6EAAAAAYAAJ&dq=%22Geometry,+Plane+Solid+and+Spherical%22&printsec=frontcover&source=bl&ots=1S8Acu0GaD&sig=wWJfp-LKyy0DdFRXaTxblz373qU&hl=en&ei=ZBjhSaaMPMTmnQf1q4y1CQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1#PPA228,M1 |date=20211029040259 }} (Baldwin and Cradock, 1830).</ref><ref>{{cite journal |last1=Morton |first1=Pierce |title=On the focus of a conic section |journal=Transactions of the Cambridge Philosophical Society |date=1830 |volume=3 |pages=185-190 |url=https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=nyp.33433004518340;view=1up;seq=223 |access-date=2021-10-29 |archive-date=2021-11-03 |archive-url=https://web.archive.org/web/20211103175434/https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=nyp.33433004518340;view=1up;seq=223 }}</ref><ref>{{cite book |last1=Hamilton |first1=Hugh |title=De Sectionibus Conicis. Tractatus Geometricus. In quo, ex Natura ipsius Coni, Sectionum Affectiones facillime deducuntur. Methodo nova. |trans-title=On conic sections. A geometric treatise. In which, from the nature of the cone itself, relations of sections are most easily deduced. By a new method. |date=1758 |publisher=William Johnston |location=London, England |pages=122–125 |url=https://archive.org/stream/desectionibusco01hamigoog#page/n154 |language=la}} ''Liber'' (book) II, ''Propositio'' (proposition) XXXVII (37).</ref>而焦點－準線性質也可提供一個簡單的作法，可以用來證明[[克卜勒定律]]。<ref>Hyman, Andrew. "A Simple Cartesian Treatment of Planetary Motion", ''European Journal of Physics'', Vol. 14, [https://www.researchgate.net/publication/230944834_A_simple_Cartesian_treatment_of_planetary_motion page 145] {{Wayback|url=https://www.researchgate.net/publication/230944834_A_simple_Cartesian_treatment_of_planetary_motion |date=20211029040259 }} (1993).</ref>

== 外部鏈接 ==

* [https://www.geogebra.org/m/vk5fc9kn 丹德林球] {{Wayback|url=https://www.geogebra.org/m/vk5fc9kn |date=20211031100629 }}
[[Category:立體幾何]]
[[Category:圆锥曲线]]