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{{expert|time=2019-01-26T15:09:09+00:00}}
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{{other uses|临界点}}
[[File:Stationary vs inflection pts.svg|400px|thumb|right|紅點的 x 座標(橫坐標)是臨界點；藍點的 x 座標是-{zh-hant:[[反曲點]];zh-hans:[[拐点]];}-  ]]
<span lang="zh-tw" dir="ltr">[https://example.org 在] {{Wayback|url=https://example.org/ |date=20211228160403 }}</span>數學上，一個[[可微函数|可微]]的[[实函数|實函數]]或[[複函數]]<math>f</math>的'''臨界點'''（{{lang-en|Critical point}}）是指在<math>f</math>的[[定义域|定義域]]中[[導數]]為 0 的點<ref>{{cite book | last=Stewart | first=James | authorlink=James Stewart (mathematician) | title=Calculus: Early Transcendentals |publisher=[[Brooks/Cole]] | edition=6th | year=2008 | isbn=0-495-01166-5}}</ref><ref>{{cite book | last1=Larson | first1=Ron | authorlink=Ron Larson (mathematician)| last2=Edwards | first2=Bruce H. | title=Calculus | publisher=[[Brooks/Cole]] | edition=9th | year=2009 | isbn=0-547-16702-4}}</ref> 。{{notetag|有些作者會把臨界點的定義包括一般實或複函數的[[定义域|定義域]]中[[導數]]為 0 的點和[[可微|不可微]]的點。}}對於一個{{Tsl|en|function of several real variables|多變數實函數}}而言，臨界點是在定義域中所有[[偏导数|偏導數]]為 0 的點<ref>{{cite book |last= Adams |first= Robert A. |last2= Essex |first2= Christopher |title= Calculus: A Complete Course |url= https://archive.org/details/calculuscomplete0000adam_q7c9 |publisher= [[Pearson Prentice Hall]] |year= 2009 |isbn= 978-0-321-54928-0 |page=[https://archive.org/details/calculuscomplete0000adam_q7c9/page/744 744]}}</ref>。一個函數的臨界點的[[函数值]]稱為临界值。

這個概念重要的地方在於函數的[[局部極值]]會發生在'''臨界點'''上。

這個定義可以延伸到<math>\mathbb{R}^m</math>與<math>\mathbb{R}^n</math>之間的函數上，在這個情況下，臨界點是[[雅可比矩陣]]的[[秩 (线性代数)|秩]]不是最大的點。更進一步可以再延伸到[[微分流形]]之間的可微函數，在這個情況下臨界點也可以被稱為[[分岔理論|歧點]]。

特別的，假設<math>C</math>是一條由[[隱函數]] <math>f(x,y)=0</math>定義的[[平面曲线|平面曲線]]。把<math>C</math>平行 y 軸投影到 x 軸的臨界點是<math>C</math>上所有滿足<math>{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0</math>的點。換句話說，臨界點是不能套用[[隐函数定理|隱函數定理]]的點。

臨界點這個概念能夠使用數學來描述[[哥白尼]]時代之前無法解釋的[[天文學]]現象，一個星球的軌跡的留點是一個在[[天球]]的星球軌跡上星球轉向其他方向前看起來停止的點，因為它是在[[黄道|黃道圓]]上軌跡投影的臨界點。

== 單變數函數的臨界點 ==
一個[[可微函数|可微]][[实函数|實函數]]<math>f</math>的'''臨界點'''<math>x_0</math>是一個在<math>f</math>的[[定义域|定義域]]中[[导数|導數]]為0的點:<math>f'(x_0)=0</math>，'''臨界值'''是臨界點在<math>f</math>之下的像，這些概念可以藉由<math>f</math>的[[函数图形|函數圖形]]來具象化:函數圖形在臨界點的位置會有水平[[切线|切線]]而且函數的導數為0。雖然臨界點可以藉由函數圖形來具現化，但函數臨界點的概念和曲線在某些方向上的臨界點的概念並不能混為一談。如果<math>g(x,y)</math>是一個兩變數可微[[函数|函數]]，<math>g(x,y)=0</math>則是一個曲線的[[隱式方程]]，這樣的曲線對於平行 y 軸的投影(映射<math>(x,y)\rightarrow x</math>)的'''臨界點'''，是曲線上滿足<math>\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=0 </math>的點，也就是說在那個點，曲線的切線會平行y軸，而且 g 不能定義成一個從 x 映射到 y 的隱函數(參考[[隐函数定理|隱函數定理]])。如果<math>(x_0,y_0)</math>是臨界點，<math>x_0</math>則是對應的'''臨界值'''。這樣的臨界點也可以被稱為[[分岔理論|歧點]]，而且當x變動時，在<math>x_0</math>的一側有兩個曲線的分支而另一側沒有。

如果<math>f(x)</math>有臨界點<math>x_0</math>和對應的臨界值<math>y_0</math>，若且唯若<math>(x_0,y_0)</math>是<math>f</math>的函數圖形平行x軸投影的臨界點，且對應的臨界值是<math>y_0</math>。

例如，方程式 <math>x^2+y^2=1</math>定義出[[单位圆|單位圓]]，將單位圓平行 y 軸投影到 x 軸的臨界點是 (0, 1) 和 (0, -1)；將單位圓平行 x 軸投影到 y 軸的臨界點是 (1, 0) 和 (-1, 0)。上半圓是 <math>f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}</math>的函數圖形 ，<math>f</math>有唯一一個臨界點 0，其臨界值是 1。單位圓平行 y 軸的投影的臨界值則是對應到 <math>f</math>的導數不存在的點。

有些作者會將函數 <math>f</math>的'''臨界點'''定義為<math>f</math>的函數圖形平行 x 軸和 y 軸的投影的臨界點，以上述的上半圓的例子，-1、0、1 都是<math>f</math>的臨界點。然而，此定義大多只出現在基礎的課本，而且在定義的前面章節時候並未提到函數圖形以外的曲線，並且只限於單變數的情形，因為該定義不能推廣到多變數。

=== 例子 ===
* 函數<math>f(x)=x^2+2x+3</math>處處可微分，且導函數為<math>f'(x)=2x+2</math>。此函數擁有唯一一個臨界點-1，因為它是唯一滿足<math>2x_0+2=0</math>的數<math>x_0</math>。這個點是一個[[最小值]]，且對應到的臨界值為<math>f(-1)=2</math>。<math>f</math>的函數圖形是一個凹向上的[[拋物線]]，其臨界點是在切線為水平線的[[頂點 (幾何)|頂點]]的橫坐標，而臨界值則是頂點縱坐標，或者是說，切線與y軸的交點。
* 函數<math>f(x)=x^{\frac{2}{3}}</math>對所有x都有定義，在<math>x\neq0</math>可微分，且其導數為<math>f'(x)=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}</math>。因為<math>x\neq0</math>則<math>f'(x)\neq0</math>，所以<math>f</math>的臨界點只可能發生在 x=0 上。因為<math>f</math>在 0 這點上是不可微的，所以不同的作者的定義會給出 0 是或不是臨界點不同的結果。<math>f</math>的圖形在 x=0 的位置是有一個[[尖點]]，且切線是鉛垂方向。如果視 0 為臨界點，則它對應到的臨界值是 f(0)=0。
*函數<math>f(x)=x^3-3x+1</math>處處可微分，且導函數為<math>f'(x)=3x^2-3</math>。它有兩個臨界點，分別在 x=1 和 x =-1 。對應的兩個臨界值，分別是<math>f</math>的極大值<math>f(-1)=3</math>和極小值<math>f(1) = -1</math>。這個函數並沒有最大值或最小值。因為<math>f(2)=3</math>，所以我們可以發現在非臨界點的函數值也可以是臨界值。在幾何上，這表示在函數圖形上一個點( x=-1 )的水平切線會與函數圖形相交於另一個點( x=2 )，且交角為銳角。
*函數<math>f(x)=\frac{1}{x}</math>。點 x=0 看似臨界點，但它不在函數的定義域中。

=== 臨界點的位置 ===
根據[[高斯-卢卡斯定理|高斯-盧卡斯定理]]，在[[复平面|複平面]]上所有多項式函數的臨界點會落在函數的[[根 (数学)|根]]所構成的[[凸包]]內。所以對於一個只有實數解的多項式函數，所有的臨界點會是實數且落在最大的根和最小的根之間。

{{Tsl|en|Sendov's conjecture|森多夫猜想}}聲稱，在複平面上如果一個函數所有的根都落在[[单位圆|單位圓]]中，那麼對於任意給定的根，至少有一個臨界點與其的距離不超過1。

== 隱曲線的臨界點 ==
{{See also|代數曲線}}
在由[[隐函数]]定義出的[[平面曲線]]的研究上，臨界點扮演重要的角色，特別是在描繪曲線與決定[[拓樸]]結構方面。在本節中，臨界點定義由以下段落給出，它可能看起來與前面的定義完全不同，但事實上，它是前面定義的一個特殊情形。<br />我們考慮一個落在[[二维空间|二維平面]]上的曲線 <math>C</math>，曲線上點的[[笛卡尔坐标系|笛卡爾座標]]滿足由雙變數[[可微函数|可微函數]] <math>f</math>定義的隱式方程 <math>f(x,y)=0</math>。設<math>\pi_x</math>、<math>\pi_y</math>分別是將曲線 C 投影到x、y軸上的標準投影，也就是<math>\pi_x(x,y)=x</math>和<math>\pi_y(x,y)=y</math>，<math>\pi_x</math>、<math>\pi_y</math>分別被稱作平行y軸方向和平行x軸方向的投影。

如果 C 在某個點上的[[切線]]存在，並且平行y軸，則稱該點是<math>\pi_y</math>的一個'''臨界點'''。此時，整條切線，包含該點，在<math>\pi_y</math>下的[[像 (數學)|像]]都是同樣的值，稱為'''臨界值'''。所以<math>\pi_y</math>的臨界點就是座標滿足方程組<math>f(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0</math>的點，下面將說明為何上述定義是原本定義的特殊情況。

類似的，我們有<math>\pi_x</math>的臨界點的定義，因此，如果 C 是 <math>y=g(x)</math>的[[函數圖形]]，則<math>(x,y)</math>是<math>\pi_x</math>的臨界點若且唯若<math>x</math>是<math>g</math>的臨界點，而且他們有相同的臨界值。

有些作者將平面曲線 C 的臨界點定義為<math>\pi_x</math>和<math>\pi_y</math>的臨界點，但是要注意到這個定義會依賴於坐標軸的選取。也有一些作者會將曲線的[[奇点 (几何)|奇點]]也定義做臨界點，其中奇點是那些滿足方程式

: <math>f(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0</math>

的點。在這個定義之下，<math>\pi_y</math>的臨界點就是那些不適用[[隱函數定理]]的點。

=== 判別式的使用 ===
如果一個曲線<math>C</math>是代數的，也就是它可以被一個雙變數多項式函數 f 所定義，這時候[[判別式]]會是一個計算臨界點的有用工具。

== 可微分函數的臨界點 ==
給定一個從'''R'''<sup>m</sup>送到'''R'''<sup>n</sup>的可微分函數 f ，則 f 的'''臨界點'''是那些滿足 f 的[[雅可比矩陣]]的秩小於 n 的點。而臨界點在 f 之下所對應到的像稱為臨界值。如果一個點，位於所有臨界值所形成的集合的補集之中，便稱之為正則值。根據{{Translink|en|Sard's theorem|薩爾德定理}}，一個光滑函數的臨界值所形成的集合是零測集。特別在 n = 1 時，在每個有界的區間中有有限個臨界值。

這個定義可以延伸到[[微分流形]]上的可微函數。

== 拓扑上的應用 ==
臨界點是[[微分流形]]的[[拓扑]]結構與{{Translink|en|real algebraic geometry|實代數幾何}}相關研究的基礎，特別的，它是[[莫爾斯理論]]和{{Translink|en|catastrophe theory|突變理論}}中的基本工具。

臨界點與拓扑學的關係在非常具體的情形終究可以體現出來。例如，令<math>V</math>是<math>\mathbb R^n</math>中的子流形，<math>P</math>是<math>V</math>外面的一點，<math>f \colon V \rightarrow \mathbb R</math>是一個光滑函數將<math>V</math>中的點映射到與<math>P</math>的距離平方，很明顯的，<math>f</math>在<math>V</math>的每個連通部分都至少有一個臨界點，就是距離最近的點。因此<math>f</math>的臨界點個數是<math>V</math>的連通部分個數的上界。

在實代數幾何，上述觀察變成多項式的次數是由它所定義出來的[[代數簇]]的聯通部分個數的上界。

==注释==
{{notefoot}}

== 參考資料 ==
{{reflist|30em}}

{{几何术语}}
{{平衡}}

[[Category:微积分学]]
[[分類:多變量微積分]]
[[分類:光滑函數]]