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[[File:Median rules.jpg|thumb|200px|right|圖中<math>\triangle</math> ABC和中线AD]]
'''中線'''或'''重線'''是[[三角形]]中从某邊的中點連向對角的[[頂點 (幾何)|頂點]]的线段。三角形的三条中线总是相交于同一点，这个点称为三角形的[[几何中心#三角形的中心|重心]]。

== 性质1 ==
[[任意三角形]]的三条中线把三角形分成面积相等的六个部分。中線都把三角形分成面积相等的两个部分。除此之外，任何其他通過中點的直線都不把三角形分成面積相等的兩個部分。

=== 证明 ===
考虑三角形''ABC''。设''D''为<math>\overline{AB}</math>的中点，''E''为<math>\overline{BC}</math>的中点，''F''为<math>\overline{AC}</math>的中点，''O''为重心。

根据定义，<math>AD=DB, AF=FC, BE=EC</math>，因此<math>[ADO]=[BDO], [AFO]=[CFO], [BEO]=[CEO], [ABE]=[ACE]</math>，其中<math>[ABC]</math>表示三角形''ABC''的[[面积]]。

我们有：

:<math>[ABO]=[ABE]-[BEO]</math>

:<math>[ACO]=[ACE]-[CEO]</math>

因此，<math>[ABO]=[ACO]</math>且<math>[ADO]=[DBO], [ADO]=\frac{1}{2}[ABO]</math>。

由于<math>[AFO]=[FCO], [AFO]= \frac{1}{2}[ACO]=\frac{1}{2}[ABO]=[ADO]</math>，所以<math>[AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]</math>。
同理，也可以证明<math>[AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]=[BEO]=[CEO]</math>。

== 性质2 ==
在<math>\triangle</math> ABC中，連接角A的中線記為<math>m_a</math>，連接角B的中線記為<math>m_b</math>，連接角C的中線記為<math>m_c</math>，它們長度的公式為：

:<math>m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}</math>
:<math>m_b=\frac{1}{2}\sqrt{2(c^2+a^2)-b^2}</math>
:<math>m_c=\frac{1}{2}\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}</math>

=== 證明 ===
:在<math>\triangle</math>ABD中，<math>AD=m_a</math>
:<math>(m_a)^2=(AB)^2+(BD)^2-2(AB)(BD)\cos \angle ABD</math>（[[餘弦定理]]）
:以a,b,c表示<math>\cos \angle ABD</math>
:<math>i.e.\ \cos \angle ABD=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}</math> & <math> BD=\frac{a}{2}</math>
:把以上兩等式代入原式，
:<math>i.e.\ (m_a)^2=(c)^2+(\frac{a}{2})^2-2(c)(\frac{a}{2})\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}</math>
:<math>=(c)^2+(\frac{a^2}{4})-(\frac{c^2+a^2-b^2}{2})</math>
:<math>=\frac{4c^2+a^2-2c^2-2a^2+2b^2}{4}</math>
:<math>=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}</math>
:∴<math>m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}</math>
同理，可證得其他二式
:[[Q.E.D.]]

== 參見 ==
* [[中線定理]]
* [[角平分線長公式]]

[[Category:三角形几何]]