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[[File:Midpoint method illustration.png|right|thumb|中點法的圖示說明，假設<math>y_n</math>等於<math>y(t_n)</math>的實際值。中點法計算<math>y_{n+1}</math>讓紅色的弦近似平行於中點處的切線（綠色）]]
[[数值分析]]裡的'''中点法'''（midpoint method）是求解[[常微分方程]]的一種[[常微分方程数值方法|数值方法]]，屬於單步法。
:<math> y'(t) = f(t, y(t)), \quad y(t_0) = y_0 .</math>
上式的顯式中點法為
{{NumBlk|:|<math> y_{n+1} = y_n + hf\left(t_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}f(t_n, y_n)\right), </math>|{{EquationRef|1e}}}}
隱式中點法為
{{NumBlk|:|<math> y_{n+1} = y_n + hf\left(t_n+\frac{h}{2},\frac12 (y_n+y_{n+1})\right), </math>|{{EquationRef|1i}}}}
<math>n=0, 1, 2, \dots</math>。此處<math>h</math>是步階長度，是一個小的正數，<math>t_n=t_0 + n h,</math>，而<math>y_n</math>是計算<math>y(t_n)</math>的近似值。顯式中點法也稱為是'''改良的歐拉方法'''（modified Euler method）<ref>{{harvnb|Süli|Mayers|2003|p=328}}</ref>，隱式中點式是最簡單的{{link-en|配置法|collocation method}}（Collocation method），可用在哈密頓力學，也就是{{link-en|辛積分器|symplectic integrator}}。

此方法的名稱是因為上述公式會用到函數在<math>t = t_n + h/2= \tfrac{t_n+t_{n+1}}{2}</math>位置的值，也就是在<math>t_n</math>以及<math>t_{n+1}</math>中點時的值，前者的值已知，後者的值未知，在計算中點的值時，也需要有一些假設，才能進行計算。

配合圖示（見右圖）會比較容易理解此一方法。在原始的[[欧拉方法]]裡，會用<math>f(t_n, y_n)</math>，計算曲線在<math>(t_n, y_n)</math>處的切線。此切線和垂直線<math>t=t_{n+1}</math>的交點即為下一個點<math> y_{n+1}</math>的值。不過，若此函數的二階導數在時間<math>t_n</math>和<math>t_{n+1}</math>的區間均為正, 或是均為負（如圖中的例子），隨著<math>h</math>加大，曲線和切線的距離會越來越遠，導致大誤差。圖中所畫的中點的切線（上方，綠線）比較可以近似這段曲線。不過因為要求解的就是此一曲線，時間<math>t_n</math>的資訊已知，其他資訊不足，可能無法精準的畫出中點處的切線。

因此，會先用原始的歐拉方法估計在中點的<math>y(t)</math>值，再用<math>f()</math>以及估計的中點資訊，計算切線斜率。用改善後的切線從<math>y_n</math>計算<math>y_{n+1}</math>的值。最後一步即為圖的紅色弦線。因為紅色弦線是估計值，用的是<math>y(t)</math>在中點處的估計值，不一定真的會和綠線（真正的中點切線）平行，仍會有誤差。

中點法每一步的局部誤差是<math>O\left(h^3\right)</math>，全域誤差是<math>O\left(h^2\right)</math>。其運算比歐拉方法要大，但在<math>h \to 0</math>的過程中，中點法的誤差會比歐拉方法降低的更快。

此法也是高階方法（如[[龙格-库塔法]]）的範例之一。

==中點法的推導==
[[File:Numerical integration illustration, step=1.svg|right|thumb|微分方程<math>y'=y,\ y(0)=1</math>的数值积分求解图。
{{legend|#0000F0|蓝：欧拉法}}
{{legend|#00D000|绿：[[中点法]]}}
{{legend|#F00000|红：精确解：<math>y=e^t</math>}}
步长<math>h=1.0</math>。]]
[[File:Numerical integration illustration step=0.25.svg|right|thumb|同一個方程的數值方法求解，步长縮減為<math>h=0.25.</math>，可以看出中點法的收斂比歐拉法要快]]

中點法可以視為是改良版的[[欧拉方法]]
:<math> y_{n+1} = y_n + hf(t_n,y_n),\, </math>
因此用類似的方式推導。 
推導欧拉法的關鍵是以下的近似等式
{{NumBlk|:|<math> y(t+h) \approx y(t) + hf(t,y(t)) </math>|{{EquationRef|2}}}}
是源自以下的斜率公式
{{NumBlk|:|<math> y'(t) \approx \frac{y(t+h) - y(t)}{h} </math>|{{EquationRef|3}}}}
，其中<math> y' = f(t, y).</math>

在中點法中，將(3)改為更準確的式子
:<math> y'\left(t+\frac{h}{2}\right) \approx \frac{y(t+h) - y(t)}{h} </math>
因此可以得到以下類似(3)式，計算<math> y(t+h)</math>的式子
{{NumBlk|:|<math> y(t+h) \approx y(t) + hf\left(t+\frac{h}{2},y\left(t+\frac{h}{2}\right)\right). </math>|{{EquationRef|4}}}}

在上式中，因為還不知道<math>y</math>在<math>t+h/2</math>的值，無法用上式直接計算<math> y(t+h)</math>。解法是用[[欧拉方法]]來求解<math>y(t+h/2)</math>: 
:<math>y\left(t + \frac{h}{2}\right) \approx y(t) + \frac{h}{2}y'(t)=y(t) + \frac{h}{2}f(t, y(t)),</math>
代入(4)式中，可得
:<math>y(t + h) \approx y(t) + hf\left(t + \frac{h}{2}, y(t) + \frac{h}{2}f(t, y(t))\right)</math>
以上則是顯式的中點法(1e)。

隱式中點法(1i)可以將此時間內的波形假設為直線，中間步數<math>t+h/2</math>的值用<math>y(t)</math>和<math>y(t+h)</math>的平均值來表示
:<math>y\left(t+\frac h2\right)\approx \frac12\bigl(y(t)+y(t+h)\bigr)</math>
因此
:<math>\frac{y(t+h)-y(t)}{h}\approx y'\left(t+\frac h2\right)\approx k=f\left(t+\frac h2,\frac12\bigl(y(t)+y(t+h)\bigr)\right)</math> 

因為隱式方法的時間對稱性，局部誤差中<math>h</math>的偶次項都消去了，局部誤差的階數是＼<math>\mathcal O(h^3)</math>。
==相關條目==
* [[黎曼和]]
* [[Heun方法]]
* [[蛙跳积分法]]和[[韦尔莱积分法]]

==腳註==
{{reflist}}

==參考資料==
* {{cite book
|author1=Griffiths, D. V. |author2=Smith, I. M. |title=Numerical methods for engineers: a programming approach
|publisher=CRC Press
|location=Boca Raton
|year=1991
|isbn=0-8493-8610-1
|oclc=
|doi=
|page=218
}}
* {{Citation | last1=Süli | first1=Endre | last2=Mayers | first2=David | title=An Introduction to Numerical Analysis | publisher=Cambridge University Press | isbn=0-521-00794-1 | year=2003}}.
* {{cite book |last1=Burden | first1=Richard | last2=Faires | first2=John |title=Numerical Analysis |publisher=Richard Stratton|year=2010|isbn=978-0-538-73351-9|page=286}}
{{常微分方程数值方法}}

[[Category:数值微分方程]]
<!-- [[Category:Runge–Kutta methods]] -->