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[[数学]]和[[多元变量统计]]中，'''中心化矩阵'''<ref>John I. Marden, ''Analyzing and Modeling Rank Data'', Chapman & Hall, 1995, {{ISBN|0-412-99521-2}}, page 59.</ref>指[[对称矩阵|对称]][[幂等矩阵]]，且当其与向量相乘时，效果等用于从向量的每个分量中减去分量的[[平均值]]。

== 定义 ==
大小为n的'''中心化矩阵'''是n×n的
:<math>C_n =  I_n - \tfrac{1}{n}J_n </math>
其中<math>I_n\,</math>是[[单位矩阵]]，<math>J_n</math>是n×n[[一矩阵]]。例如

:<math>C_1 = \begin{bmatrix}
0 \end{bmatrix}
</math>,

:<math>C_2= \left[ \begin{array}{rrr} 
1 & 0 \\
0 & 1 
\end{array} \right] - \frac{1}{2}\left[ \begin{array}{rrr} 
1 & 1 \\
1 & 1
\end{array} \right]   = \left[ \begin{array}{rrr} 
\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\
-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} 
\end{array} \right]
</math> , 

:<math>C_3 = \left[ \begin{array}{rrr}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 
\end{array} \right] -  \frac{1}{3}\left[ \begin{array}{rrr}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 
\end{array} \right]
 = \left[ \begin{array}{rrr}
\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\
-\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\
-\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} 
\end{array} \right] 
</math>

== 性质 ==
给定长为n的列向量<math>\mathbf{v}\,</math>，<math>C_n\,</math>的'''中心性'''可表为
:<math>C_n\,\mathbf{v} = \mathbf{v} - (\tfrac{1}{n}J_{n,1}^\textrm{T}\mathbf{v})J_{n,1}</math>
其中<math>J_{n,1}</math>是[[一矩阵|值全为1的列向量]]，<math>\tfrac{1}{n}J_{n,1}^\textrm{T}\mathbf{v}</math>是<math>\mathbf{v}\,</math>的分量的平均值。
* <math>C_n\,</math>是正半定对称阵。

* <math>C_n\,</math>是[[幂等]]矩阵，所以<math>C_n^k=C_n\ (k=1,2,\ldots)</math>。均值被移除的话它就是零，再次移除也没有任何影响。
* <math>C_n\,</math>是[[奇异矩阵]]/不可逆矩阵。应用<math>C_n\,\mathbf{v}</math>变换的效果无法逆转。
* <math>C_n\,</math>具有重数为n-1的特征值1与重数为1的特征值0

* <math>C_n\,</math>沿向量<math>J_{n,1}</math>有维度为1的[[核 (线性算子)|零空间]]。

* <math>C_n\,</math>是[[投影 (线性代数)|正交投影矩阵]]。也就是说<math>C_n\mathbf{v}</math>是<math>\mathbf{v}\,</math>在n-1维线性子空间上的投影，其与零空间<math>J_{n,1}</math>正交（这是所有分量和为0的n向量构成的子空间）。
* <math>C_n</math>的迹是<math>n(n-1)/n = n-1</math>。

== 应用 ==
虽然与中心化矩阵相乘并不是去除向量均值的有效计算方法，但却是一种方便的分析工具。它不仅可用来去除单个向量的均值，还可去除存储在m×n矩阵<math>X</math>的行或列中多个向量的均值。

左乘<math>C_m</math>将从n列的每一列减去相应的均值，这样积<math>C_m\,X</math>的每列的均值都是0。相似地，右乘<math>C_n</math>会从每行减去相应的均值，这样积<math>X\,C_n</math>的每行均值都为0。两侧均乘：<math>C_m\,X\,C_n</math>将产生行列均值均为0的矩阵。

中心化矩阵提供了一种表示[[散布矩阵]]的方法：对数据样本<math>X\,</math>，有<math>S=(X-\mu J_{n,1}^{\mathrm{T}})(X-\mu J_{n,1}^{\mathrm{T}})^{\mathrm{T}}</math>，其中<math>\mu=\tfrac{1}{n}X J_{n,1}</math>是[[样本均值]]。有了中心化矩阵，可以将散布矩阵更简洁地表示为
:<math>S=X\,C_n(X\,C_n)^{\mathrm{T}}=X\,C_n\,C_n\,X\,^{\mathrm{T}}=X\,C_n\,X\,^{\mathrm{T}}.</math>

<math>C_n</math>是[[多项分布]]的[[协方差矩阵]]，在特殊情况下分布参数为<math>k=n</math>，<math>p_1=p_2=\cdots=p_n=\frac{1}{n}</math>。

== 参考文献 ==
{{reflist}}

[[Category:矩阵]]