查看“︁中位數”︁的源代码

{{refimprove|time=2014-07-21T02:49:51+00:00}}
{{NoteTA
|G1=Math
}}

[[統計學]]上，'''中位數'''（{{lang-en|Median}}），又稱'''中央值'''<ref>{{cite web|language= zh-tw|url= http://terms.naer.edu.tw/detail/716103/|title= median - 中央值；中位數；正中的 - 國家教育研究院雙語詞彙|publisher= [[國家教育研究院]]|access-date= 2022-04-21|archive-date= 2018-11-24|archive-url= https://web.archive.org/web/20181124095036/http://terms.naer.edu.tw/detail/716103/}}</ref>、'''中值'''，是一個樣本、種群或[[概率分佈]]中之一個數值，其可將數值集合劃分爲数量相等的上下兩部分。對於有限的數集，可以通過把所有觀察值高低排序後找出正中間的一個作爲中位數。如果觀察值有偶數個，則中位數不唯一，通常取最中間的兩個數值的[[平均數]]作爲中位數。

一個數集中最多有一半的數值小於中位數，也最多有一半的數值大於中位數。如果大於和小於中位數的數值個數均少於一半，那麽數集中必有若干值等同於中位數。

设[[连续]][[随机变量]]X的[[累積分佈函數|分布函数]]为F(X)，那么满足条件P(X≤m)=F(m)=1/2的数称为X或分布F的中位数。

对于一组[[有限]]个数的[[数据]]来说，其中位数是这样的一种数：这群数据的一半的数据比它大，而另外一半数据比它小。

计算有限个数的数据的中位数的方法是：把所有的同类数据按照大小的顺序[[排列]]。如果数据的个数是[[奇数]]，则中间那个数据就是这群数据的中位数；如果数据的个数是[[偶数]]，则中间那2个数据的[[算术平均值]]就是这群数据的中位数。

== 公式 ==
實數<math>x_1, x_2, \dots , x_n</math>按大小順序（順序，降序皆可）排列為<math>x'_1, x'_2, \dots , x'_n</math>、

實數數列<math>x=(x_1, x_2, \dots , x_n)</math>的中位數 <math>\mathrm{Q}_\frac{1}{2}(x)</math> 為

:<math>
\mathrm{Q}_\frac{1}{2}(x) = 
\begin{cases} 
 x'_\frac{n + 1}{2},                                  & \mbox{if } n \mbox{ is odd number.} \\
 \frac{1}{2}( x'_\frac{n}{2} + x'_{\frac{n}{2} + 1}), & \mbox{if } n \mbox{ is even number.} 
\end{cases}
</math>

其中 odd number 表示奇數，even number 表示偶數。


== 中位數特性 ==
中位數在敘述統計學上和平均数、[[众数 (数学)|众数]]並列為數據的集中趨勢。三者的位置排序亦對應著[[偏度]]的正負偏態意義。一般而言，平均數是最常被使用做為數據的集中趨勢，但如果有極端值存在，平均數的代表性降低，也就所謂的「男人女人平均一顆[[睪丸]]」的問題，因此在有極端值的狀況下，中位數是比較好的集中趨勢代表。因此，在各國的每人所得分布上，通常以中位數代表集中趨勢，而非平均數<ref>台北市政府主計處，台北市家庭所得概況，民國106年。([https://www-ws.gov.taipei/Download.ashx?u=LzAwMS9VcGxvYWQvMzY3L3JlbGZpbGUvNDUwMDAvNzY2MzI0Ni9lY2NiMWJhMS0zMGFlLTQzNzAtOGIwNi0xNGU2ZDFhMzlmYWMucGRm&n=MTA2MjLoh7rljJfluILlrrbluq3miYDlvpfmpoLms4EucGRm&icon=.pdf   連結] {{Wayback|url=https://www-ws.gov.taipei/Download.ashx?u=LzAwMS9VcGxvYWQvMzY3L3JlbGZpbGUvNDUwMDAvNzY2MzI0Ni9lY2NiMWJhMS0zMGFlLTQzNzAtOGIwNi0xNGU2ZDFhMzlmYWMucGRm&n=MTA2MjLoh7rljJfluILlrrbluq3miYDlvpfmpoLms4EucGRm&icon=.pdf |date=20211123032812 }})</ref>。

中位數通常出現在[[描述统计学]]和[[無母數統計]]，有母數的統計分析很少提及。中位數為集中趨勢時，對應的離散趨勢係數為[[平均絕對離差]]（Mean absolute deviation, MAD）或是四位位距(Q3 - Q1)。不過如果論及母體中位數的統計量時，仍需根據統計分析對抽樣分配的要求，尋找母體中位數統計量的期望值與變異數，再依照點估計的充分、不偏、效率、一致性進行討論。而母體中位數的統計量通常是樣本中位數。因此，樣本中位數的期望值與變異數就值得被討論，進行基礎研究。

=== 常態分配下的中位數 ===

常態分配下的平均數、中位數、眾數都是同一個位置。目前最為世人熟知的是平均數的抽樣分配會是常態分配，期望值為母體平均數<math>\mu</math>且變異數為母體變異數(<math>\sigma _{2}</math>)。統計學對常態分配的母體平均數統計量說明甚多，並發展完善。那麼中位數可基於機率分配模擬器和數值分析發展，在n個獨立隨機變數來自常態分配可生成n個隨機樣本，則E(樣本中位數)=<math>\mu</math>且Var(樣本中位數)=<math>\sigma _{2} k(n)</math>，其中，k(n)受到樣本個數(n)影響。當樣本個數介於2至200時，兩者的關係不明顯，但可計算出樣本個數和k(n)的關聯表<ref>{{cite journal|url=https://www.researchgate.net/publication/343787522_Source_code_of_how_to_run_sample_median%27s_variance?channel=doi&linkId=5f3f6106299bf13404d98262&showFulltext=true|journal=ResearchGate|title=(PDF) Source code of how to run sample median's variance|language=en|accessdate=2021-10-21|doi=10.13140/rg.2.2.16784.23041}}</ref>。

{| class="wikitable"
|+ k(n)和n的對應表
|-
! n !! k(n) !! n !! k(n) !! n !! k(n)
|-
| 2 || 0.500267128 || 70 || 0.021985179 || 138 || 0.011271806
|-
| 3 || 0.448703237 || 71 || 0.021403637 || 139 || 0.011269587
|-
| 4 || 0.298172500 || 72 || 0.021393271 || 140 || 0.011109049
|-
| 5 || 0.286770401 || 73 || 0.020840845 || 141 || 0.011111745
|-
| 6 || 0.214713620 || 74 || 0.020830427 || 142 || 0.010959968
|-
| 7 || 0.210476952 || 75 || 0.020295864 || 143 || 0.010962027
|-
| 8 || 0.168172011 || 76 || 0.020294599 || 144 || 0.010810205
|-
| 9 || 0.166171644 || 77 || 0.019776971 || 145 || 0.010809127
|-
| 10 || 0.138304145 || 78 || 0.019777466 || 146 || 0.010661452
|-
| 11 || 0.137221972 || 79 || 0.019291777 || 147 || 0.010659591
|-
| 12 || 0.117603985 || 80 || 0.019294767 || 148 || 0.010513172
|-
| 13 || 0.116875871 || 81 || 0.018831955 || 149 || 0.010523498
|-
| 14 || 0.102209683 || 82 || 0.018826854 || 150 || 0.010377973
|-
| 15 || 0.101704592 || 83 || 0.018394657 || 151 || 0.010379735
|-
| 16 || 0.090397468 || 84 || 0.018390467 || 152 || 0.010244606
|-
| 17 || 0.090046842 || 85 || 0.017972657 || 153 || 0.010247290
|-
| 18 || 0.081017991 || 86 || 0.017972309 || 154 || 0.010109136
|-
| 19 || 0.080776427 || 87 || 0.017567447 || 155 || 0.010114347
|-
| 20 || 0.073450103 || 88 || 0.017564340 || 156 || 0.009986419
|-
| 21 || 0.073284584 || 89 || 0.017187295 || 157 || 0.009984465
|-
| 22 || 0.067168338 || 90 || 0.017189110 || 158 || 0.009862704
|-
| 23 || 0.067002164 || 91 || 0.016812903 || 159 || 0.009858886
|-
| 24 || 0.061881619 || 92 || 0.016813666 || 160 || 0.009735345
|-
| 25 || 0.061762647 || 93 || 0.016466660 || 161 || 0.009736185
|-
| 26 || 0.057309720 || 94 || 0.016462668 || 162 || 0.009617128
|-
| 27 || 0.057271174 || 95 || 0.016125488 || 163 || 0.009619325
|-
| 28 || 0.053440064 || 96 || 0.016119237 || 164 || 0.009501480
|-
| 29 || 0.053332370 || 97 || 0.015802880 || 165 || 0.009502525
|-
| 30 || 0.049992614 || 98 || 0.015797856 || 166 || 0.009389839
|-
| 31 || 0.049937448 || 99 || 0.015492872 || 167 || 0.009388423
|-
| 32 || 0.047029351 || 100 || 0.015490432 || 168 || 0.009279058
|-
| 33 || 0.046965211 || 101 || 0.015190773 || 169 || 0.009277712
|-
| 34 || 0.044337988 || 102 || 0.015189776 || 170 || 0.009169514
|-
| 35 || 0.044336558 || 103 || 0.014904567 || 171 || 0.009169768
|-
| 36 || 0.041990927 || 104 || 0.014896640 || 172 || 0.009061071
|-
| 37 || 0.041942218 || 105 || 0.014628725 || 173 || 0.009060657
|-
| 38 || 0.039852927 || 106 || 0.014623638 || 174 || 0.008961003
|-
| 39 || 0.039832458 || 107 || 0.014359452 || 175 || 0.008957769
|-
| 40 || 0.037939073 || 108 || 0.014359166 || 176 || 0.008860612
|-
| 41 || 0.037904745 || 109 || 0.014100614 || 177 || 0.008859363
|-
| 42 || 0.036184274 || 110 || 0.014104129 || 178 || 0.008762802
|-
| 43 || 0.036152192 || 111 || 0.013856818 || 179 || 0.008760489
|-
| 44 || 0.034579591 || 112 || 0.013854712 || 180 || 0.008665028
|-
| 45 || 0.034577569 || 113 || 0.013609600 || 181 || 0.008663662
|-
| 46 || 0.033133177 || 114 || 0.013610680 || 182 || 0.008571695
|-
| 47 || 0.033118807 || 115 || 0.013383360 || 183 || 0.008570240
|-
| 48 || 0.031791145 || 116 || 0.013382329 || 184 || 0.008475410
|-
| 49 || 0.031783399 || 117 || 0.013153728 || 185 || 0.008477845
|-
| 50 || 0.030548873 || 118 || 0.013156167 || 186 || 0.008388634
|-
| 51 || 0.030533811 || 119 || 0.012938560 || 187 || 0.008384818
|-
| 52 || 0.029411882 || 120 || 0.012939455 || 188 || 0.008300454
|-
| 53 || 0.029402885 || 121 || 0.012729706 || 189 || 0.008300175
|-
| 54 || 0.028347691 || 122 || 0.012731381 || 190 || 0.008214157
|-
| 55 || 0.028342062 || 123 || 0.012533040 || 191 || 0.008211878
|-
| 56 || 0.027348747 || 124 || 0.012525181 || 192 || 0.008130539
|-
| 57 || 0.027350473 || 125 || 0.012333899 || 193 || 0.008128310
|-
| 58 || 0.026442809 || 126 || 0.012334408 || 194 || 0.008045347
|-
| 59 || 0.026436289 || 127 || 0.012141084 || 195 || 0.008041810
|-
| 60 || 0.025573242 || 128 || 0.012138522 || 196 || 0.007964784
|-
| 61 || 0.025575279 || 129 || 0.011964057 || 197 || 0.007961234
|-
| 62 || 0.024780610 || 130 || 0.011961887 || 198 || 0.007882679
|-
| 63 || 0.024751923 || 131 || 0.011782874 || 199 || 0.007882009
|-
| 64 || 0.024005574 || 132 || 0.011779941 || 200 || 0.007806200
|-
| 65 || 0.024006688 || 133 || 0.011604216 || 201 || 0.007801090
|-
| 66 || 0.023304209 || 134 || 0.011600908 || 202 || 0.007729016
|-
| 67 || 0.023287460 || 135 || 0.011433315 || 203 || 0.007728333
|-
| 68 || 0.022616908 || 136 || 0.011438587 || 204 || 0.007654504
|-
| 69 || 0.022624425 || 137 || 0.011271806 || 205 || 0.007652196
|}

如果樣本個數超過200，但不超過1000時，兩者有明顯的關係，並且受到樣本個數是否為奇數或偶數影響。此時可使用迴歸分析尋找兩者的關係。

1. 樣本個數為偶數，迴歸式為k(n) = 0.0000148965 + 1.5599936862 / n。

2. 樣本個數為奇數，迴歸式為k(n) = 0.0000084608 + 1.5674001064 / n。

由此可得到樣本中位數的變異數和母體常態分配的變異數形成穩定的對應關係<ref>{{cite journal|url=https://www.researchgate.net/publication/344014548_The_Relationships_between_Variances_of_Normal_Distribution_and_Sample_Median_Sample_size_from_200_to_1000?channel=doi&linkId=5f4df75f458515a88ba5bf2d&showFulltext=true|journal=ResearchGate|title=(PDF) The Relationships between Variances of Normal Distribution and Sample Median: Sample size from 200 to 1000|language=en|accessdate=2021-10-31|doi=10.13140/rg.2.2.12462.13124/1}}</ref>。

==參考文獻==
{{reflist}}

== 外部链接 ==
* [https://web.archive.org/web/20070604162710/http://www.statcan.ca/english/edu/power/ch11/median/median.htm Calculating the median]
* [http://www.mathschallenge.net/index.php?section=problems&show=true&titleid=average_problem A problem involving the mean, the median, and the mode.]{{Wayback|url=http://www.mathschallenge.net/index.php?section=problems&show=true&titleid=average_problem |date=20201118085753 }}
* [http://mathworld.wolfram.com/StatisticalMedian.html mathworld: Statistical Median]{{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/StatisticalMedian.html |date=20201130124119 }}

{{planetmath|urlid=medianofadistribution|title=Median of a distribution}}

{{统计学}}

[[Category:概率论]]
[[Category:穩健統計學]]
[[Category:平均数]]