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{{noteTA|G1=Math|G2=P}}

:<small>在这篇文章内，我们把[[体 (数学)|域]] <math>F\,</math> 上的某个[[线性空间]] <math>V\,</math> 中的向量用黑斜体字母来标记，把张量用正黑体字母来标记。</small>

在[[多重線性代數]]裡，'''並矢張量'''({{lang|en|dyadic tensor}})是一個以特別標記法寫出的二階[[張量]]，是由成對的[[向量]]並置形成的。針對這特別標記法，有一套專門計算這種表達式，類似於[[矩陣|矩陣代數]]規則的方法<ref>{{cite book|last=Papanastasiou|first=Tasos C.
|coauthors=Georgios C. Georgiou, Andreas N. Alexandrou|title=Viscous Fluid Flow|publisher=CRC Press|year=2000|pages=pp. 26-27|isbn =9780849316067 }}</ref><ref>{{cite book|last=Spencer|first=Anthony James Merrill|title=Continuum mechanics|url=https://archive.org/details/continuummechani0000spen_i4a7|publisher=Courier Dover Publications|year=2004|pages=pp. 19-20|isbn=9780486435947}}</ref>。並矢張量的每一對向量的並置稱為'''並矢'''({{lang|en|dyad}})。兩個單位[[基底向量]]的[[並矢積]]稱為'''單位並矢'''({{lang|en|unit dyad}})。純量與單位並矢的乘積就是並矢。

例如，設定兩個三維向量 <math>\boldsymbol{v}\,</math> 和 <math>\boldsymbol{w}\,</math> ，
:<math> \boldsymbol{v} = v_1\boldsymbol{i} + v_2\boldsymbol{j}+ v_3\boldsymbol{k} \,</math> ，
:<math> \boldsymbol{w} = w_1\boldsymbol{i} + w_2\boldsymbol{j}+ w_3\boldsymbol{k} \,</math> ；

其中，<math>\boldsymbol{i}\,</math> 、<math>\boldsymbol{j}\,</math> 、<math>\boldsymbol{k}\,</math>，形成了一個三維空間裏的[[標準正交基]]的單位基底向量。

那麼，<math>\boldsymbol{v}\,</math> 與 <math>\boldsymbol{w}\,</math> 並置成為
:<math> \boldsymbol{vw} = v_1 w_1 \boldsymbol{i i} + v_1 w_2 \boldsymbol{i j} + v_1 w_3 \boldsymbol{i k}+ v_2 w_1 \boldsymbol{j i} + v_2 w_2 \boldsymbol{j j}+ v_2 w_3 \boldsymbol{j k} + v_3 w_1 \boldsymbol{k i} + v_3 w_2 \boldsymbol{k j}+ v_3 w_3 \boldsymbol{k k}\,</math> ；

其中，<math>\boldsymbol{ii}\,</math> 、<math>\boldsymbol{ij}\,</math> 、<math>\boldsymbol{ik}\,</math> 等等，都是單位並矢，<math>v_1 w_1\boldsymbol{ii}\,</math> 、<math>v_1 w_2 \boldsymbol{ij}\,</math> 、<math>v_1 w_3 \boldsymbol{ik}\,</math> 等等，都是並矢。

並矢張量 <math>\boldsymbol{vw}\,</math> 也可以表達為
:<math>\boldsymbol{vw}=
\begin{pmatrix}
 v_1 w_1 & v_1 w_2 & v_1 w_3\\
 v_2 w_1 & v_2 w_2 & v_2 w_3\\
 v_3 w_1 & v_3 w_2 & v_3 w_3
\end{pmatrix}\,</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

==定義==
根據{{lang|en|Morse}}與{{lang|en|Feshbach}}所著作的權威教科書<ref>{{Citation
  | last = Morse
  | first = Philip  
  | last2 = Feshbach
  | first2 = Herman
  | title = Methods of theoretical physics, Part 2
  | publisher = McGraw-Hill
  | year = 1953
  | pages =pp. 54-92
  | isbn =978-0070433175 }}</ref>，在三維空間裏，並矢張量 <math>\mathbf{A}\,</math> 是一個3&times;3[[陣列]]，其分量 <math>A_{mn},\ m,n=1,2,3\,</math> ，當從一個坐標系變換到另外一個坐標系時，遵守[[協變變換]]({{lang|en|covariant transformation}})的定律。
:<math>A_{ij}' = \sum_{m,n} \frac{\partial x_m}{\partial x_i'}\frac{\partial x_n}{\partial x_j'} A_{mn}\,</math> ；

其中，<math>A_{ij}'\,</math> 是變換後的分量。

所以，並矢張量是一個二階協變張量。反過來說，按照這定義推廣，任意二階協變張量都是並矢張量：
:<math> \mathbf{A} =A_{11}\boldsymbol{i i} +A_{12}\boldsymbol{i j} +A_{13}\boldsymbol{i k} +A_{21}\boldsymbol{j i} +A_{22}\boldsymbol{j j}+A_{23}\boldsymbol{j k} +A_{31}\boldsymbol{k i}  +A_{32}\boldsymbol{k j}+A_{33}\boldsymbol{k k}\,</math> 。

==並矢張量運算==
應用[[點積]]，並矢張量 <math>\mathbf{A}\,</math> 可以與向量 <math>\boldsymbol{v}\,</math> 綜合在一起：
:<math>\mathbf{A}\cdot\boldsymbol{v} =\sum_{m,n} (A_{mn}\boldsymbol{e}_m\boldsymbol{e}_n)\cdot
\sum_{\ell}(v_{\ell}\boldsymbol{e}_{\ell})\,</math> ；

其中，<math>\boldsymbol{e}_m\,</math> 、<math>\boldsymbol{e}_n\,</math> 、<math>\boldsymbol{e}_\ell\,</math> ，都是標準正交基的基底向量。

注意到 <math>(\boldsymbol{e}_m\boldsymbol{e}_n)\cdot\boldsymbol{e}_{\ell}=\boldsymbol{e}_m\delta_{n\ell} \,</math> ；其中，<math>\delta_{n\ell}\,</math> 是[[克羅內克函數]]。所以，
:<math>\mathbf{A}\cdot\boldsymbol{v} =\sum_{m,n}A_{mn}v_n\boldsymbol{e}_m\,</math> ；

這點積運算得到的結果是一個協變向量。

並矢張量的[[縮併]]({{lang|en|tensor contraction}})運算，將每一個並置 <math>\boldsymbol{e}_m\boldsymbol{e}_n\,</math> ，替換為兩個單位基底向量的點積 <math>\boldsymbol{e}_m\cdot\boldsymbol{e}_n\,</math> ，以方程式表達為
:<math>|\mathbf{A}| = \sum_m A_m^m\,</math> 。

只成立於三維空間，並矢張量的'''旋轉因子'''運算，將每一個並置 <math>\boldsymbol{e}_m\boldsymbol{e}_n\,</math> ，替換為兩個單位基底向量的[[叉積]] <math>\boldsymbol{e}_m\times\boldsymbol{e}_n\,</math> ，以方程式表達為
:<math>\langle\mathbf{A}\rangle = \boldsymbol{e}_1(A_{23}-A_{32})+\boldsymbol{e}_2(A_{31}-A_{13}) + \boldsymbol{e}_3(A_{12}-A_{21})\,</math> 。

這也可以表達為 <math>\mathbf{A}\,</math> 與[[列維-奇維塔符號]] <math>\epsilon_{imn}\,</math> 的完全縮併：
:<math>\langle\mathbf{A}\rangle =\sum_{mn}\epsilon_{imn}A_{mn}\,</math> 。

==進階理論==
两个向量 <math>\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}\,</math> 的'''并矢积''' <math>\boldsymbol{vw}\,</math> 其实就是[[张量积]] <math>\boldsymbol{v} \otimes \boldsymbol{w}\,</math> 。 两个并矢积作形式上的相加就是'''并矢张量'''，从而并矢张量和二阶[[张量]]（严格地说，是二阶的[[反变|反变张量]]）是同义词。力学、电动力学中常见的例子就是单位並矢张量 <math>\mathcal{I} = \boldsymbol{ii} + \boldsymbol{jj} + \boldsymbol{kk} \, </math> 、[[转动惯量]] <math>  \mathbf{I} = \iiint (r^2 \mathcal{I} - \boldsymbol{r}\boldsymbol{r}) \, \rho \, dV\,</math> 以及[[麦克斯韦应力张量]]等；量子力学中的[[角动量耦合]]({{lang|en|angular momentum coupling}})理论也要用到并矢张量。

需要注意：并矢积是不可交换的，也就是说，除非两个矢量 <math>\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}\,</math> [[线性相关]]，否则一定有 <math>\boldsymbol{vw} \neq \boldsymbol{wv}\,</math>。

在[[物理学]]中，并矢张量最重要的应用之一就是它和向量的缩併。对于并矢积 <math>\boldsymbol{vw}\,</math> 和向量 <math>\boldsymbol{u}\,</math> 的缩併，规定
:<math>  (\boldsymbol{vw}) \cdot\boldsymbol{u} :=\boldsymbol{v}\, (\boldsymbol{w} \cdot \boldsymbol{u})  
  \, , \qquad
\boldsymbol{u} \cdot (\boldsymbol{vw}) := (\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v}) \, \boldsymbol{w}\,</math> 。

如果要求这种规定也适用于量子力学中的[[态矢量]]，在这种情况下就要特别注意每个式子右端各个向量的先后顺序：用[[狄拉克符号]]来写，则 <math>\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v} = \langle u | v \rangle\,</math> 。

==进阶定义==
设 <math>V\,</math> 是域 <math>F\,</math> 上的一个线性空间，则下述定义是等价的。

'''定义1.''' 对于任意 <math>\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \in V\,</math>，称它们的[[张量积]] <math>\boldsymbol{v} \otimes \boldsymbol{w} \in V \otimes V\,</math> 为 <math>\boldsymbol{v}\,</math> 和 <math>\boldsymbol{w}\,</math> 的'''并矢积'''并将其简记为 <math>\boldsymbol{vw}\,</math> ，称为并矢张量。更加推广，称 <math>V \otimes V\,</math> 中的元素为 <math>V\,</math> 上的'''并矢张量'''，或者'''二阶反变张量'''。

'''定义2.''' 如果有 <math>F\,</math> 上的一个线性空间 <math>W\,</math> 以及双线性映射 <math>\phi: V \times V \rightarrow W\,</math> 满足

:(1) <math>\forall \mathbf{T} \in W\,</math>, <math>\exists k \in \mathbb{N}\,</math> 以及 <math>\boldsymbol{u}_1, \boldsymbol{v}_1, \ldots, \boldsymbol{u}_k, \boldsymbol{v}_k \in V\,</math> 使得
::<math>  \mathbf{T} = \sum_{i = 1}^k \phi(\boldsymbol{u}_i, \boldsymbol{v}_i)  \, </math> ；
:(2) 当 <math>\boldsymbol{v}_1, \ldots, \boldsymbol{v}_k \in V\,</math> 线性无关时，<math>\{\phi(\boldsymbol{v}_i, \boldsymbol{v}_j) \,|\, i, j = 1, \ldots, k\}\,</math> 是 <math>W\,</math> 中的线性无关向量组，
则称 <math>W\,</math> 中的元素为 <math>V\,</math> 上的'''并矢张量'''或'''二阶反变张量'''，把 <math>\phi(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w})\,</math> 记为 <math>\boldsymbol{vw}\,</math> 。

'''定义3.''' <math>V\,</math> 上的'''并矢张量'''（或者'''二阶反变张量'''）这个概念可以按照下述规则来建立：

:(1) 任意向量 <math>\boldsymbol{v}\,</math> 和 <math>\boldsymbol{w}\,</math> 并置摆放形成一个'''并矢积''' <math>\boldsymbol{vw}\,</math>；

:(2) 对于任意的 <math>\alpha \in F\,</math> 和任意的 <math>\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \in V\,</math>，规定 <math>(\alpha \boldsymbol{v})\boldsymbol{w} = \boldsymbol{v} (\alpha\boldsymbol{w}) = \alpha (\boldsymbol{vw})  \,</math> ，并把上述结果不加区分地记作 <math>\alpha \boldsymbol{vw}\,</math>；

:(3) 称有限个并矢积的'''形式和'''为一个'''并矢张量'''；

:(4) 对任意正整数 <math>k\,</math>，如果 <math>\boldsymbol{v}_1, \ldots, \boldsymbol{v}_k \in V\,</math> [[线性无关]]，则 <math>\{\boldsymbol{v}_i \boldsymbol{v}_j \,|\, i, j = 1, \ldots, k\}\,</math> 是线性无关向量组——特别是， <math>\boldsymbol{vw} = 0\,</math> 的充分必要条件是 <math>\boldsymbol{v} = 0\,</math> 或 <math>\boldsymbol{w} = 0\,</math>；

:(5) 对任意的 <math>\boldsymbol{u}\,</math>、<math>\boldsymbol{v}\,</math>、<math>\boldsymbol{w} \in V\,</math>，成立着'''分配律'''
::<math>  \boldsymbol{u}(\boldsymbol{v} + \boldsymbol{w}) = \boldsymbol{uv} + \boldsymbol{uw}
  \, , \qquad  (\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v}) \boldsymbol{w} = \boldsymbol{uw} + \boldsymbol{vw}
  \,</math> 。

'''注：''' 所谓'''形式和'''，就是说我们既不刻意追究求和的实际含义，也关心求和的结果在哪个集合中，而只是知道这种求和满足[[交换律]]和[[结合律]]。

==并矢张量与向量的缩併==
既然上述定义等价，我们就把 <math>V\,</math> 上所有的并矢张量所构成线性空间记为 <math>V \otimes V\,</math>。在此基础上，如果 <math>V\,</math> 是一个[[内积空间]]并把 <math>\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \in V\,</math> 的内积记为 <math>\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{w}\,</math>（当 <math>F = \mathbb{C}\,</math> 时，约定 <math>\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{w}\,</math> 对 <math>\boldsymbol{v}\,</math> 是共轭线性的），则定义并矢张量 <math>\mathbf{T}\,</math> 和矢量 <math>\boldsymbol{v}\,</math> 的'''缩併''' <math>\mathbf{T} \cdot \boldsymbol{v}\,</math> 和 <math>\boldsymbol{v} \cdot \mathbf{T}\,</math> 都是 <math>V\,</math> 中的向量，满足下述运算律：

:(6) 对于任意的 <math>\alpha \in F, \, \mathbf{T} \in V \otimes V\,</math> 以及 <math>\boldsymbol{v} \in V\,</math>，
::<math>  (\alpha \mathbf{T}) \cdot \boldsymbol{v} = \mathbf{T} \cdot (\alpha^* \boldsymbol{v})
  = \alpha (\mathbf{T} \cdot \boldsymbol{v})  \, , \qquad
  \boldsymbol{v} \cdot (\alpha \mathbf{T}) = (\alpha^*  \boldsymbol{v}) \cdot \mathbf{T}
  = \alpha (\boldsymbol{v} \cdot \mathbf{T}) \,</math> ，
:从而可以把上述两个结果分别记为 <math>\alpha \mathbf{T} \cdot \boldsymbol{v}\,</math> 和 <math>\alpha \boldsymbol{v} \cdot \mathbf{T}\,</math>。在上述公式中，<math>\alpha^* \,</math> 表示 <math>\alpha\,</math> 的[[複共軛]]（如果 <math>F = \mathbb{C}\,</math>）。

:(7) 对于任意的 <math>\mathbf{S}, \, \mathbf{T} \in V \otimes V\,</math> 以及 <math>\boldsymbol{v} \in V\,</math>，总有
::<math>(\mathbf{S} + \mathbf{T}) \cdot \boldsymbol{v}
  = \mathbf{S} \cdot \boldsymbol{v} + \mathbf{T} \cdot \boldsymbol{v}  \, , \qquad
  \boldsymbol{v} \cdot (\mathbf{S} + \mathbf{T})
  = \boldsymbol{v} \cdot \mathbf{S} + \boldsymbol{v} \cdot \mathbf{T}\,</math> 。

:(8) 对于任意的 <math>\mathbf{T} \in V \otimes V\,</math> 以及 <math>\boldsymbol{v}, \, \boldsymbol{w} \in V\,</math>，总有
::<math>  \mathbf{T} \cdot (\boldsymbol{v} + \boldsymbol{w})
  = \mathbf{T} \cdot \boldsymbol{v} + \mathbf{T} \cdot \boldsymbol{w}  \, , \qquad
  (\boldsymbol{v} + \boldsymbol{w}) \cdot \mathbf{T}
  = \boldsymbol{v} \cdot \mathbf{T} + \boldsymbol{w} \cdot \mathbf{T}\,</math> 。

:(9) 对任意的 <math>\boldsymbol{u}, \, \boldsymbol{v}, \, \boldsymbol{w} \in V\,</math>，总有
::<math>  (\boldsymbol{uv}) \cdot \boldsymbol{w} =\boldsymbol{u} \, (\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{w}) 
  \, , \qquad
\boldsymbol{u}\cdot (\boldsymbol{vw})=(\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v}) \, \boldsymbol{w}\,</math> 。

==範例==
===旋轉===
設定 <math>\mathbf{M}\,</math> 為一個並矢張量：
:<math>\mathbf{M}=\boldsymbol{j i} - \boldsymbol{i j}=\left( \begin{array}{cc}
 0 & -1 \\
 1 & 0
\end{array}
\right)\,</math> 。

<math>\mathbf{M}\,</math> 是一個二維空間的 90° [[旋轉算子]] ({{lang|en|rotation operator}}) 。它可以從左邊[[點積]]一個向量來產生一個[[旋轉]]：
:<math>\mathbf{M} \cdot (x \boldsymbol{i} + y \boldsymbol{j}) =(\boldsymbol{j i} - \boldsymbol{i j}) \cdot (x \boldsymbol{i} + y \boldsymbol{j}) =
x \boldsymbol{j i} \cdot \boldsymbol{i} - x \boldsymbol{i j} \cdot \boldsymbol{i} + y \boldsymbol{j i} \cdot \boldsymbol{j} - y \boldsymbol{i j} \cdot \boldsymbol{j} = 
- y \boldsymbol{i} + x \boldsymbol{j}\,</math> ；

或以矩陣表達，
:<math>\left(
\begin{array}{cc}
 0 & -1 \\
 1 & 0
\end{array}
\right)\left(
\begin{array}{c}
 x \\
 y
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{c}
 \ -y \\
 x
\end{array}
\right)\,</math> 。

一個一般的二維旋轉並矢張量，會產生 <math>\theta\,</math> 角度[[反時針方向]]的旋轉，表達為
:<math>\cos\theta\mathbf{I}+\sin\theta\mathbf{M}=
\begin{pmatrix}
  \cos\theta & - \sin\theta \\
  \sin\theta &\ \cos\theta 
\end{pmatrix}
\,</math> ；

其中，<math>\mathbf{I}=\boldsymbol{ii}+\boldsymbol{jj}\,</math> 是二維的'''單位並矢張量'''。

===量子力学===
设 <math>V\,</math> 是[[量子力学]]中所有的[[角动量算符|角动量本征态]]所张成的[[希尔伯特空间]]（囊括了所有可能的[[角量子数|总角动量量子数]] <math>0\,</math>，<math>1/2\,</math>，<math>1\,</math>，<math>3/2\,</math>，<math>\ldots\,</math>），则 <math>F = \mathbb{C}\,</math>。当我们要考虑角动量耦合的时候，就会遇到[[态矢量]]的并矢张量 <math>|j_1 m_1\rangle |j_2 m_2\rangle\,</math>，而且时常把它记作 <math>|j_1 m_1 j_2 m_2\rangle\,</math> 或 <math>|j_1 m_1, j_2 m_2\rangle\,</math> 等等。任取一些[[复数 (数学)|复数]] <math>C_{j_1 m_1 j_2 m_2}\,</math>（但是其中只能有有限个非零），则
:<math>  \sum_{j_1} \sum_{m_1} \sum_{j_2} \sum_{m_2} C_{j_1 m_1 j_2 m_2} |j_1 m_1\rangle |j_2 m_2\rangle\,</math>

就是一个并矢张量。不妨把这个并矢张量记作 <math>\mathbf{T}\,</math>，则它和 <math>|jm\rangle\,</math> 的缩併就是
:<math>  \mathbf{T} \cdot |jm\rangle 
  = \sum_{j_1} \sum_{m_1} \sum_{j_2} \sum_{m_2} C_{j_1 m_1 j_2 m_2} \langle jm | j_2 m_2\rangle \,
    |j_1 m_1\rangle  \,</math>，
:<math>  |jm\rangle \cdot \mathbf{T}
  = \sum_{j_1} \sum_{m_1} \sum_{j_2} \sum_{m_2} C_{j_1 m_1 j_2 m_2} \langle jm | j_1 m_1\rangle \,
|j_2 m_2\rangle  \,</math>。

在这其中，量子力学中最广为人知的就是通过[[克莱布希－高登系数|CG矢量耦合系数]]所组合出来的张量。当然，在角动量耦合理论中，这样的张量被等同为某些角动量本征态，除了物理上的考虑之外，这更主要地还是有关[[李群]] <math>SU(2)\,</math>及其[[李代数]] <math>\mathfrak{su}(2)\,</math> 的表示的另外一个话题，请参看[[李群表示]]及[[李代数的表示]] ({{lang|en|Lie algebra representation}}) ，在这里就不再深入探讨了。

实际上可以这样说，在量子力学中，只要物理问题涉及了系统的耦合，数学上就会导致态矢量的并矢。在这方面，还可以举一个常见的例子：由一维[[谐振子]]的态矢量所构成的并矢张量可以用来描述二维谐振子系统。

===经典力学===

三维[[欧几里得空间]]上的并矢张量的例子非常多，例如[[转动惯量]]、[[应力张量]]、[[应变 (物理学)|应变]]等等。这些例子实际上就是并矢张量这个概念的最初原型。

==并矢张量的展开==

下面我们要说明，前面建议的规则 (1) 到 (9) 足以讲清楚二阶张量的运算和性质。

考虑 <math>V\,</math> 为[[欧几里得空间]]的情形，则 <math>V\,</math> 是[[实数域]] <math>\mathbb{R}\,</math> 上的有限维[[线性空间]]（设 <math>\dim V = n\,</math>）而且带有[[正定矩陣|正定]]的[[内积]]。设 <math>(\boldsymbol{e}_1, \ldots, \boldsymbol{e}_n)\,</math> 是 <math>V\,</math> 的一个[[基底]]，则任意 <math>\boldsymbol{v}\,</math>、<math>\boldsymbol{w} \in V\,</math> 都可以作线性展开 <math>\boldsymbol{v} = \sum_{i = 1}^n v^i \boldsymbol{e}_i\,</math>，<math>\boldsymbol{w} = \sum_{i = 1}^n w^i \boldsymbol{e}_i\,</math>。在这里，为了充分演示规则 (1) 到 (9) （见上面的定义3以及'''并矢张量与向量的缩併'''）的使用，我们明显地写出了求和号而不使用[[爱因斯坦求和约定]]。但是，为了简便，求和的上下限被略去了。

以下运算中，等于号上方的标号是规则的编号。

首先，我们要证明所有的二阶张量都能够用 <math>\boldsymbol{e}_i \boldsymbol{e}_j\,</math> 展开。重复地利用规则 (5) 可得
:<math>  \boldsymbol{vw} = \Big(\sum_i v^i \boldsymbol{e}_i \Big) \Big(\sum_j w^j \boldsymbol{e}_j\Big)
  \stackrel{(5)}{=} \sum_i \Big[(v^i \boldsymbol{e}_i) \sum_j w^j \boldsymbol{e}_j\Big]
  \stackrel{(5)}{=} \sum_i \sum_j (v^i \boldsymbol{e}_i) (w^j \boldsymbol{e}_j) \, </math> 。

接下来重复地利用规则 (2) 可得
:<math>\boldsymbol{vw} \stackrel{(2)}{=} \sum_i \sum_j \boldsymbol{e}_i \Big(v^i (w^j \boldsymbol{e}_j)\Big)
  = \sum_i \sum_j \boldsymbol{e}_i \Big((v^i w^j) \, \boldsymbol{e}_j)\Big)
  \stackrel{(2)}{=} \sum_i \sum_j (v^i w^j) \, \boldsymbol{e}_i\boldsymbol{e}_j\,</math> 。

这样，我们就证明了所有的并矢，即形如 <math>\boldsymbol{vw}\,</math> 的张量都能够写成 <math>\boldsymbol{e}_i \boldsymbol{e}_j\,</math> 的线性组合。接下来，按照规则 (3) 以及上面的结论，所有的二阶张量最终都能够表达为 <math>\boldsymbol{e}_i \boldsymbol{e}_j\,</math> 的线性组合。

反之，由规则 (1) 和 (3)，每一个 <math>\boldsymbol{e}_i \boldsymbol{e}_j\,</math> 都是一个二阶张量，再由规则 (3)，它们的任意线性组合也是二阶张量。至此，我们证明了二阶张量等价于 <math>\boldsymbol{e}_i \boldsymbol{e}_j\,</math>  的线性组合。

然后，从规则 (4) 可以证明，全部的 <math>\boldsymbol{e}_i \boldsymbol{e}_j\,</math> 是[[线性无关]]的，因此构成了 <math>V \otimes V\,</math> 的基底。

最后，利用规则（6）到（9）不难把所有的缩併最终归结为计算 <math>(\boldsymbol{e}_i\cdot\boldsymbol{e}_j) \, \boldsymbol{e}_k\,</math>。特别是，如果所给的基是[[标准正交基]]，那么结果就非常简单了。

==实线性空间上的并矢张量和线性变换互相等同（爱因斯坦指标升降）==

对于 <math>n\,</math> 维[[欧几里得空间]] <math>V\,</math> 而言，由于 <math>F = \mathbb{R}\,</math>，规则 (6) 和 (8)  表明，给定任意一个并矢张量 <math>\mathbf{T}\,</math> 之后，从矢量 <math>\boldsymbol{v}\,</math> 到 <math>\mathbf{T} \cdot \boldsymbol{v}\,</math>（或者 <math>\boldsymbol{v} \cdot \mathbf{T}\,</math>）的映射是线性映射，所以，{{Fact|'''欧几里得空间上的并矢张量总是对应着它自身上的[[线性变换]]。'''|date=June 2010}}下面要证明，从并矢张量到线性变换的这种对应是[[满射]]。为了准确起见，把 <math>\mathbf{T} \in V \otimes V\,</math> 所对应的 <math>V\,</math> 上的线性变换分别记为 <math>R_\flat\mathbf{T}: V \rightarrow V, \boldsymbol{v} \mapsto \mathbf{T} \cdot \boldsymbol{v}\,</math> 和 <math>L_\flat\mathbf{T}: V \rightarrow V, \boldsymbol{v} \mapsto \boldsymbol{v} \cdot \mathbf{T}\,</math> ， 则有

'''引理1.''' 对于欧几里得空间 <math>V\,</math> 上的任意一个线性变换 <math>\hat{T}: V \rightarrow V\,</math>，总是存在着 <math>V\,</math> 上的并矢张量 <math>\mathbf{T}\,</math> 和 <math>\mathbf{T}'\,</math> 使得 <math>\hat{T} = R_\flat \mathbf{T}\,</math>, <math>\hat{T} = L_\flat \mathbf{T}'\,</math> 。

'''证明：''' 由于证明方法类似，我们只证明 <math>\mathbf{T}\,</math> 的存在性。设 <math>(\boldsymbol{e}_1, \ldots, \boldsymbol{e}_n)\,</math> 是 <math>V\,</math> 的一个[[基底]]（不必是[[标准正交基]]），令
:<math>  g_{ij} = \boldsymbol{e}_i \cdot \boldsymbol{e}_j\,</math> ，

则[[内积]]的正定性导致 <math>g_{ij}\,</math> 所构成的 <math>n \times n\,</math> 矩阵 <math>G = (g_{ij})\,</math> 为[[正定矩阵]]。给了 <math>V\,</math> 上的一个线性变换 <math>\hat{T}: V \rightarrow V\,</math> 之后，我们可以借助於基底得到一个[[矩阵]] <math>T = (\ T^i_{\ j}\ )\,</math>，其中，上标号是横标号，下标号是竖标号：
:<math>\hat{T} \boldsymbol{e}_j = T^i_{\ j} \boldsymbol{e}_i
\,</math> 。

在这里我们使用了[[爱因斯坦求和约定]]。现在我们利用 <math>G\,</math> 的[[逆矩阵]]
:<math>G^{-1} = (g^{ij}) \, , \qquad g_{ij} g^{jk} = \delta^k_i\,</math> ，

构造一个并矢张量
:<math>\mathbf{T} = T^i_{\  j} g^{jk} \, \boldsymbol{e}_i \boldsymbol{e}_k\,</math> ，

则
:<math>  (R_\flat \mathbf{T}) \boldsymbol{e}_j = \mathbf{T} \cdot \boldsymbol{e}_j
  = T^i_{\  l} g^{lk} \, \boldsymbol{e}_i \boldsymbol{e}_k \cdot \boldsymbol{e}_j
  = T^i_{\  l} g^{lk} \, \boldsymbol{e}_i (\boldsymbol{e}_k \cdot \boldsymbol{e}_j)
  = T^i_{\  l} g^{lk} \, \boldsymbol{e}_i \, g_{kj}
  = T^i_{\  l} \delta^l_j \, \boldsymbol{e}_i
  = T^i_{\  j} \, \boldsymbol{e}_i
  = \hat{T} \boldsymbol{e}_j\,</math> ，

可见由 <math>\hat{T} = R_\flat\mathbf{T}\,</math> 。

类似地也可以构造一个 <math>\mathbf{T}' \in V \otimes V\,</math> ，使之满足 <math>\hat{T} = L_\flat \mathbf{T}'\,</math> 。事实上，还可以证明 <math>\mathbf{T}'\,</math> 是 <math>\mathbf{T}\,</math> 的[[转置]]——用基底来展开，就是说
:<math>\mathbf{T}' = T^i_{\ j} g^{jk} \, \boldsymbol{e}_k \boldsymbol{e}_i \,</math> 。

结论证毕。

把 <math>n\,</math> 维欧几里得空间 <math>V\,</math> 上的所有的线性映射所构成的线性空间记为 <math>\mathfrak{gl}(V)\,</math>，则后者的维数为 <math>n^2\,</math>. 由'''并矢张量和向量的缩併'''中的规则 (6) 和 (7) 不难得到

'''引理2.{{Fact|''' 映射 <math>R_\flat: V \otimes V \rightarrow \mathfrak{gl}(V), \mathbf{T} \mapsto R_\flat \mathbf{T}\,</math> 和 <math>L_\flat: V \otimes V \rightarrow \mathfrak{gl}(V), \mathbf{T} \mapsto L_\flat \mathbf{T}\,</math> 都是线性映射。|date=June 2010}}

前面已经分析过，
:<math>  \dim (V \otimes V) = n^2\,</math> 。
根据引理2和引理1，我们就得到了

'''定理''' 映射 <math>R_\flat: V \otimes V \rightarrow \mathfrak{gl}(V)\,</math> 和 <math>L_\flat: V \otimes V \rightarrow \mathfrak{gl}(V)\,</math> 都是[[线性同构]]。

这就是说，对于欧几里得空间来说，它上面的并矢张量和线性变换可以互相等同。一般说来，用 <math>R_\flat\,</math> 作等同比较自然些。这种等同就是[[爱因斯坦]]在[[相对论]]中用所引入的指标升降法(尽管其中的线性空间是[[闵可夫斯基空间]]，但是方法是相似的)。具体来说，并矢张量是具有两个上指标的二阶反变张量，而线性变换则是一阶协变一阶反变的张量，<math>R_\flat\,</math> 就是用度规张量把二阶反变张量的右指标降下来，而 <math>L_\flat\,</math> 则是把左边的反变指标降下来。

特别是，当 <math>\hat{T}\,</math> 为[[恒等映射]]时，<math>T^i_{\ j} = \delta^i_j\,</math>，从而得到

'''推论''' 把 <math>V\,</math> 上的'''单位张量'''（这是[[经典力学]]中的叫法，在[[相对论]]中则常常被称为'''[[度规张量]]的逆'''）定义为与恒等映射相对应的那个并矢张量（不管是 <math>R_\flat\,</math> 还是 <math>L_\flat\,</math>，结果都一样），则它可以借助于基底展开为 <math>g^{ij} \boldsymbol{e}_i \boldsymbol{e}_j\,</math> 。

在上述讨论过程中我们实际上没有真正用到内积的正定性，而真正实质性的条件有两点：（1）<math>F = \mathbb{R}\,</math>；（2）<math>G = (g_{ij})\,</math> 可逆。所以欧几里德空间可以放松为 <math>\mathbb{R}\,</math> 上带有一个[[非退化]]的对称[[双线性型]]的线性空间。相对论中所用到的闵可夫斯基空间就是这样的。

==參見條目==
*[[並矢積]]
*[[张量积]]
*[[拉普拉斯-龍格-冷次向量#推廣|拉普拉斯-龍格-冷次向量]]{{Broken anchor|date=2024-05-23|bot=User:Cewbot/log/20201008/configuration|target_link=拉普拉斯-龍格-冷次向量#推廣|reason= 錨點（推廣）[[Special:Diff/9438813|已被刪除]]。}}
*[[线性空间]]

==參考文獻==
<small>
<references />
# H. Goldstein, ''Classical Mechanics'', 2nd ed., Addison-Wesley, Massachusetts 1980, p.194.
# 吳望一，《流體力學》上册，北京：北京大学出版社，1982：1.13节，1.14节。
</small>

{{张量}}
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[[Category:張量]]