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{{NoteTA
|G1 = Math
}}
'''丢番图分析'''（{{lang-en|Diophantine approximation}}）是[[数论]]的一个分支。最经典的丢番图逼近主要用於[[有理数]]逼近[[实数]]，亦即实数的有理逼近相关问题。其中有理数一般用分数形式表达，且一律要求分子为整数，分母为正整数，通常要求是[[既约分数]]。

'''丢番图逼近'''的名称源于古希腊数学家[[丢番图]]。这是因为有理逼近可以归结为求不等式整数解的问题，而求方程整数解的问题一般称为[[丢番图方程]]（或[[不定方程]]），故而得名。事实上，丢番图逼近与不定方程的研究确有颇多相关。

丢番图逼近的首要问题是寻求实数的最佳（有理）丢番图逼近，简称'''最佳逼近'''。具体来说，对于一个实数 ''<math>\alpha</math>''，希望找到一个“最优”的有理数 <math>p/q</math> 作为 <math>\alpha</math> 的近似，使在分母不超过 <math>q</math> 的所有有理数中，''<math>p/q</math>'' 与 ''<math>\alpha</math>'' 的距离最小。这里的“距离”可以是欧氏距离，即两数之差的绝对值；也可以用 <math>|q\alpha-p|</math> 等方式度量。满足此类要求的有理数 <math>p/q</math> 称为实数 ''<math>\alpha</math>'' 的一个最佳逼近。关于如何寻找实数的最佳逼近及相关论题，已于18世纪随着[[连分数]]理论的发展得到基本解决。

其后，该领域的主要注意力转向对有理逼近的误差进行估计、度量，以给出尽可能精确的上下界（一般用分母的函数表示）。作为分母的函数, 这种上下界的阶与 ''<math>\alpha</math>'' 的性质密切相关。当 ''<math>\alpha</math>'' 分别为[[有理数]]、[[代数数]]、[[超越数]]时，其最佳逼近误差下界的阶是不同的。基于这种思想，[[刘维尔]]在1844年建立了有关代数数逼近的一个基本结论，并由此具体地构造出了一个超越数（参见[[刘维尔数]]），证明了它的超越性。这在人类历史上尚属首次。由此可见，丢番图逼近与数论的另一分支——[[超越数论]]紧密相关。

除了上述最经典的单个实数的有理逼近问题，该领域还包括多个实数的联立逼近，非齐次逼近，实数的代数数逼近，一致分布（均匀分布）等方面。甚至连[[p进数]]上的丢番图逼近也有颇多研究。

== 实数的最佳丢番图逼近==
=== 有理数与实数的距离 ===

无论何种丢番图逼近问题, 都需要定义“距离”。对于实数的有理逼近，要考虑的是有理数 ''<math>p/q</math>'' 与实数 ''<math>\alpha</math>'' 的距离。对此一般有两种定义方式，其一是非常自然的[[欧氏距离]] <math>|\alpha -p/q|</math>，其二是 <math>|q\alpha-p|</math> 第二种定义方式是有理数所独有的，在丢番图逼近的理论和实践中都很常用，不过这样定义的距离并非一个[[度量]]。

这两种距离也可看作只由分母 ''<math>q</math>'' 决定的。此时，上述第二种定义变为
:<math> \min \{p\in\mathbb{Z}:|q\alpha -p|\}=||q\alpha||</math>
上式右端的记号在丢番图逼近中很常用。沿用此记号，第一种定义变为
:<math> \min \{p\in\mathbb{Z}:|\alpha -p/q|\}=||q\alpha||/q</math>
此时不要求 ''<math>p,q</math>'' [[互素]]。

对于实数的最佳逼近问题，依“距离”的定义不同，有第一类和第二类之分，二者的结论有所不同。未加限定时，“最佳逼近”一词一般指的是第一类最佳逼近。

=== 问题的提法 ===

在本节中，对有理数 ''<math>p/q</math>''，我们用“优”一词形容它与给定实数 ''<math>\alpha</math>'' 的距离更接近，此处的“距离”一般是按照1.1节给出的两种定义方式之一。当 ''<math>\alpha</math>'' 为无理数时，无论按上述哪一种距离，只要分母 ''<math>q</math>'' 足够大，''<math>p/q</math>'' 总能与 ''<math>\alpha</math>'' 任意接近。因此，单纯讨论“最优”（意即与 ''<math>\alpha</math>'' 最接近的）有理数意义不大，还需要对有理数的范围，主要是分母的范围加以限制。这样，给定一个实数 ''<math>\alpha</math>'' 后，就产生了以下三个自然的问题：
# 对于哪些有理数 <math>p/q</math>，其在分母不超过 ''<math>q</math>'' 的所有有理数中是最优的？
# 对于给定的正整数，在分母不超过它的所有有理数中，最优的是哪个？（如果有多个，一般取分母最小者）
# 对于一个有理数（通常考虑的是最佳逼近），比它更优的有理数中分母最小的是哪个？

问题1正是经典丢番图逼近领域的一个核心问题，也是后两个问题的基础；问题2可视作问题1的扩展，从某些角度看它的提法甚至更为自然；问题3则可看作问题2的某种反问题。

丢番图逼近领域的'''最佳逼近'''一词，一般就指符合问题1中条件的有理数。两种距离都可以考虑，分别对应两类最佳逼近。具体来说，给定一个实数 ''<math>\alpha</math>''，称有理数 ''<math>p/q</math>'' 为 ''<math>\alpha</math>'' 的'''第一类最佳逼近'''，当且仅当对每个与 ''<math>p/q</math>'' 不同的有理数 ''<math>p'/q'</math>''，在 <math>q'\leq q</math> 时恒有
:<math>|\alpha - p/q| < |\alpha - p'/q'|</math>
如果其余条件不变，最后的不等式变为
:<math>\left|q\alpha -p\right| < \left|q^\prime\alpha - p^\prime\right|</math>
则称 ''<math>p/q</math>'' 为 ''<math>\alpha</math>'' 的第'''二类最佳逼近'''。显然，第二类最佳逼近一定是第一类的，反之则未必。例如对于2/3来说，1/2是第一类最佳逼近，但不是第二类的。

对于问题2, 3，依“距离”的定义不同，也有类似的第一类和第二类之分。问题1解决后，不难得到问题2, 3的结论。事实上，后两个问题中所求的有理数一定是一个最佳逼近。

=== 结论 ===

实数最佳逼近问题与[[连分数]]理论有密切联系，后者提供了计算最佳逼近的理论依据和具体算法。下面总假设实数 ''<math>\alpha</math>'' 的简单连分数表达式为
:<math> \alpha=[a_{0}; a_{1}, a_{2}, \,\ldots, a_{n}\,\ldots]</math>
再设''C<sub>k</sub>'' = ''p<sub>k</sub>/q<sub>k</sub>''为 ''<math>\alpha</math>'' 的k阶'''渐进分数'''（即''收敛子''），''C<sub>k, t</sub>'' = ''p<sub>k, t</sub>/q<sub>k, t</sub>''的第t个k阶'''中间渐近分数'''（简称''中间分数''，又名''半收敛子''，参见[[连分数#半收敛子]]），其中
:<math> p_{k,t}=tp_{k-1}+p_{k-2},\ q_{k,t}=tq_{k-1}+q_{k-2},\ C_{k,t}=p_{k,t}/q_{k,t}=[a_{0}; a_{1}, \,\ldots, a_{k-1},t]</math>
习惯上认为中间分数不包括渐近分数，因此，上述记号中一般要求 <math> t<a_k,\ t\in \mathbb{N}^* </math> 此时 <math>C_{k, t}
</math> 总在 <math>C_{k-1}
</math> 和 <math>C_k
</math> 之间。

==== 第二类最佳逼近 ====

第二类最佳逼近的结论比较简单：实数的第二类最佳逼近恰是它的简单连分数的所有'''渐近分数'''。此时需要'''注意'''：''<math>\alpha</math>'' 为有理数时，它的简单连分数展开要取最后一位不是1的那个。例如2/3的连分数要写成[0; 1, 2]而不是[0; 1, 1, 1]，故此时[0; 1, 1]=1/2不是2/3的渐近分数。事实上，1/2确实不是2/3的第二类最佳逼近。另外，此论断有一个平凡的例外：若<math>a_k=1
</math>''，<math>\alpha</math>'' 的第0个渐近分数并非第二类最佳逼近。

对于问题2，给定正整数 <math>M>1
</math>，设 <math>q_{k-1}\leq M<q_k</math>，则在分母不超过M的有理数中，最优的是第 <math>k-1</math> 个渐近分数 <math>C_{k-1}
</math> 

对于问题3，给定一个第二类最佳逼近，它一定是某个渐近分数 ''<math>C_{k-1}
</math>''（''<math>\alpha</math>'' 为半整数时有例外，此时 <math>a_0+1</math> 也第二类最佳逼近，但对结论没有本质影响），那么比它更优的有理数中分母最小的是 ''<math>C_k
</math>''。

==== 第一类最佳逼近 ====

对于第一类最佳逼近，问题要复杂一些。此时渐近分数当然仍是最佳逼近，但某些[[连分数#半收敛子|中间分数]]亦是。具体来说，
* <math> t>a_k/2 </math>时, <math> C_{k,t} </math> 是第一类最佳逼近；
* <math> t<a_k/2 </math>时, <math> C_{k,t} </math> 不是第一类最佳逼近；
* <math> t=a_k/2\in\mathbb{N}^* </math>时，仅考虑连分数的前k项已不足以判断，需要特殊的判定准则。此时，<math> C_{k,t} </math> 是第一类最佳逼近，当且仅当
:<math> [a_{k+1}; a_{k+2},\,\ldots]>q_{k-1}/q_{k-2}</math>

另一方面，第一类最佳逼近一定是渐近分数或中间分数。为使此论断无例外，需补充定义-1阶渐进分数为1/0，这样可以考虑0阶的中间分数。这裡还需要'''特别注意'''： ''<math>\alpha</math>'' 为有理数时，它的简单连分数展开要取最后一位是1的那个。例如2/3的连分数要写成[0;1, 1, 1]而不是[0;1, 2]，故此时[0; 1, 1]=1/2是2/3的渐近分数。事实上，1/2确实是2/3的第一类最佳逼近。

总结起来，''<math>\alpha</math>'' 的第一类最佳逼近恰有三类：
* 渐近分数 <math>C_k</math> (<math>a_1=1</math> 时不包含 <math>C_0</math>) ；
* 中间分数 <math>C_{k,t}, </math>其中<math> t\in \mathbb{N}^*,\ a_k /2 < t <a_k;</math>
* 中间分数 <math>C_{k,a_k /2}, </math>其中<math>a_k/2\in\mathbb{N}^*,\ [a_{k+1}; a_{k+2},\,\ldots]>q_{k-1}/q_{k-2}</math>

问题2, 3的结论与上一小节类似。

=== 例子 ===

考虑自然对数底 [[e (数学常数)|e]]=2.718281828459045235……，其连分数表达式为
:<math>[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,\ldots\;]</math>
它的第二类最佳逼近依次是：
:<math> 3, \frac{8}{3}, \frac{11}{4}, \frac{19}{7}, \frac{87}{32}, \ldots\,</math>
它的第一类最佳逼近依次是：
:<math>3, \frac{5}{2}, \frac{8}{3}, \frac{11}{4}, \frac{19}{7}, \frac{30}{11},
\frac{49}{18}, \frac{68}{25}, \frac{87}{32}, \frac{106}{39}, \ldots\,</math>
和渐近分数一样，最佳逼近一般也按分母由小到大排列。

又如[[圆周率]] π=3.145926535897……，其连分数表达式为
:<math>[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,\ldots]</math>
它的前几个渐近分数如下：
:<math>3, \frac{22}{7}, \frac{333}{106}, \frac{355}{113}, \frac{103993}{33102}</math>
其中的22/7正是约率，而355/113正是[[密率]]。按上面的结论，由于292为偶数，且
:<math>[1;1,1,2,1,3,14\ldots]>[1,1,1]=3/2>113/106</math>
故355/113之后的下一个第一类最佳逼近是<math>C_{4, 292/2}=52163/16604
</math>。这说明355/113比分母小于16604的任何有理数都更接近π（依欧氏距离），可见密率的精确性。

==刘维尔定理与Roth定理==
丢番图逼近理论的基础之一是[[刘维尔]]的一个关于代数数逼近的定理：

'''定理'''：设无理数<math>\alpha</math>是一个整系数<math>n</math>次多项式的根，则存在常数<math>A>0</math>，使得对任意两整数 <math>p,q >0 </math> 恒有
: <math>\left| \alpha - \frac{p}{q} \right| > \frac{A}{q^n}</math>

刘维尔定理可用于构造[[超越数]]。在这之前，数学家们已利用[[连分数]]导出关于平方根与其它二次无理数的许多逼近性质。这个结果后来由Axel Thue等人改进，并导致'''Roth定理'''：对于代数数<math>\alpha</math>，将刘维尔定理中的指数由其次数<math>n</math>缩至任意的<math>2+\epsilon</math>（其中<math>\epsilon>0</math>）。之后[[Schmidt]]又将此结果推广到一致逼近。这些命题的证明颇为困难，而且不能得到<math>A</math>的确切数值，在应用上有所缺憾。

==均匀分布==
另一个主题是模1的'''均匀分布理论'''。取一实数序列 <math>a_1, a_2, \ldots</math> 并考虑其真分数部分；或抽象地说，将其看作 <math>\mathbb{R}/\mathbb{Z}</math>，即[[拓扑学]]中所说的一维圆环 <math>\mathbb{S}^1</math>上的数列。对圆环上的任一段区间，我们研究有限集 <math>\{a_n : n \leq N \}</math> 中有多大比例落在该区间内，并考虑这个比例与区间长度之间的关系。一个序列'''均匀分布'''意味着当 <math>N \rightarrow +\infty</math> 时，此比例收敛于我们所“期望”的值。[[赫尔曼·外尔]]证明了一个基本结论：均匀分布等价于该序列元素的[[指数和]]有上界。这表明丢番图逼近与指数和相消的一般问题密切相关，而后者在[[解析数论]]的误差项估计中无处不在。

==其它==
在Roth定理以后，丢番图逼近论的主要进展与[[超越理论]]相关。均匀分布关乎分布的不规则性，因而带有组合学的本性。丢番图逼近论中仍有陈述简单却悬而未解的问题，例如[[李特尔伍德]]猜想：对任意两个实数 <math>\alpha, \beta</math>,

:<math>\liminf_{n\to\infty} \ n\,\Vert n\alpha\Vert \,\Vert n\beta\Vert = 0</math>

其中<math>\Vert \,\Vert</math>表示到最近整数的距离。

==文献==
*{{cite book
 | author = Lang, S
 | title = Introduction to Diophantine Approximations
 | url = https://archive.org/details/introductiontodi0000lang_u5c5
 | edition = New Expanded Edition
 | publisher = Springer-Verlag
 | year = 1995
 | id = ISBN 978-0-387-94456-2}}

{{Authority control}}
[[Category:丢番图逼近| ]]