查看“︁不變量理論”︁的源代码

'''不變量理論'''是數學的一個分支，它研究[[群]]在[[代數簇]]上的[[群作用|作用]]。不變量理論的古典課題是研究在[[線性群]]作用下保持不變的[[多項式]]函數。

對於[[有限群]]，不變量理論與[[伽羅瓦理論]]有密切聯繫，一個較早的結果涉及了[[对称群 (n次对称群)|對稱群]] <math>S_n</math> 在多項式環 <math>F[X_1, \ldots, X_n]</math> 上的作用：<math>S_n</math> 作用下的不變量構成一個子[[环 (代数)|環]]，由基本[[對稱多項式]]生成，由於基本對稱多項式彼此[[代數獨立]]，此不變量環本身也同構於另一多項式環。Chevalley-Shephard-Todd 定理刻劃了其不變量環同構於多項式環的有限群。晚近的研究則更關切[[算法]]問題，例如計算不變量環的生成元，或給出其次數的上界。

對於一般的[[代數群]]，其不變量理論與[[線性代數]]、[[二次型]]及[[行列式]]理論密切相關。

[[大衛·蒙福德]]在1960年代創建了[[幾何不變量理論]]，這是構造[[模空間]]的有力工具。此理論探討代數簇在群作用下的[[商空間]]，並研究軌道的幾何性質。幾何不變量理論與古典不變量理論的關聯如次：考慮域 <math>k</math> 上的仿射代數簇 <math>X = \mathrm{Spec} A</math>，群 <math>G</math> 作用其上，則商空間 <math>X/G</math> 也是仿射代數簇，其坐標環即不變量環 <math>A^G</math>。[[希爾伯特]]證明若 <math>G</math> 是[[一般線性群]]，則 <math>A^G</math> 是有限生成 <math>k</math>-代數；此結果對一般的[[約化群]]依然成立，然而 <math>X/G</math> 可能有頗複雜的幾何性質，也未必滿足[[商對象]]應滿足的[[範疇論]]性質。

== 文獻 ==

*{{cite book | author=Grace, J. H.; and Young, Alfred | title=The algebra of invariants | location=Cambridge | publisher=Cambridge University Press | year=1903 }}
*{{cite book | author=Grosshans, Frank D. | title=    Algebraic homogeneous spaces and invariant theory | url=https://archive.org/details/algebraichomogen0000gros | location=New York | publisher=Springer | year=1997 | id=ISBN 3-540-63628-5}}
*{{cite book | author=Neusel, Mara D.; and Smith, Larry | title=Invariant Theory of Finite Groups | location=Providence, RI | publisher=American Mathematical Society | year=2002 | id=ISBN 0-8218-2916-5}}
*{{cite book | author=Olver, Peter J. | title=Classical invariant theory | url=https://archive.org/details/classicalinvaria0000olve | location=Cambridge | publisher=Cambridge University Press | year=1999 | id=ISBN 0-521-55821-2}}
*{{springer|id=i/i052350|title=Invariants, theory of|first=V.L. |last=Popov}}
*{{cite book | author=Springer, T. A. | title=Invariant Theory | location=New York | publisher=Springer | year=1977 | id=ISBN 0-387-08242-5}}
*{{cite book | author=Sturmfels, Bernd | title=Algorithms in Invariant Theory | location=New York | publisher=Springer | year=1993 | id=ISBN 0-387-82445-6}}

== 外部連結 ==
*H. Kraft, C. Procesi, [https://web.archive.org/web/20110105120945/http://www.math.unibas.ch/~kraft/Papers/KP-Primer.pdf Classical Invariant Theory, a Primer]

[[Category:代數|B]]
[[Category:表示论|B]]