查看“︁不等”︁的源代码

{{Unreferenced|time=2013-03-15T23:21:08+00:00 }}
{{NoteTA
|G1 = Math
}}
[[数学]]上，'''不等'''是表明两个对象的大小或者顺序的[[二元关系]]，与'''[[相等]]'''相对。不等关系主要有四种：
*<math>a<b</math>，即<math>a</math>'''小于'''<math>b</math>
*<math>a>b</math>，即<math>a</math>'''大于'''<math>b</math>

上述两个属于'''严格不等'''。
*<math>a\leq b</math>，即<math>a</math>'''小于等于'''<math>b</math>
*<math>a\geq b</math>，即<math>a</math>'''大于等于'''<math>b</math>
*<math>a\neq b</math>，即<math>a</math>'''不等于'''<math>b</math>

将两个[[表达式]]用不等符号连起来，就构成了'''[[不等式]]'''。

若不等关系对变量的所有元素都成立，则称其为“绝对的”或“无条件的”。若不等关系只对变量的部分取值成立，而对另一部分将改变方向或失效，则称为条件不等。

不等式两边同时加或减相同的数，或者两边同时乘以或除以同一个正数，不等关系不变。不等式两边同时乘以或除以同一个[[负数]]，不等关系改变方向。

符号<math>a\gg b</math>表示<math>a</math>“远大于”<math>b</math>。其含义是不确定的，可以是 100 倍的差异，也可能是10个数量级的差异。和[[方程]]相联系，它被用来给出一个非常大的值而使方程的输出满足一个特定的结果。

== 性质 ==
不等具有下列性质：

;[[三分律|三一律]]：
: 对任意[[实数]]<math>a</math>、<math>b</math>，只有下列之一是真的：
:*<math>a<b</math>
:*<math>a=b</math>
:*<math>a>b</math>

;調換性質：
: 對任意實數<math>a</math>、<math>b</math>：
:*<math>a < b</math> 和 <math>b > a</math> 是等價的。
:*<math>a \le b</math> 和 <math>b \ge a</math> 是等價的。

;{{vanchor|transitive-property|text=[[传递性]]}}：
: 对任意实数<math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>：
:*如果 <math>a < b</math> 且 <math>b < c</math>，则 <math>a<c</math>。
:*如果 <math>a \le b</math> 且 <math>b \le c</math>，則 <math>a \le c</math>。
:*如果 <math>a < b</math> 且 <math>b \le c</math>，則 <math>a < c</math>。
:*如果 <math>a \le b</math> 且 <math>b < c</math>，則 <math>a < c</math>。

;[[加法]]性质：
: 对任意实数<math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>：
:*若 <math>a > b</math>；则 <math>a + c > b + c</math> 。
:*若 <math>a < b</math>；则 <math>a + c < b + c</math>。

;[[乘法]]性质：
: 对任意实数<math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>，且有<math>c\ne 0</math>：
:* 若<math>c</math>为 [[正数]] 且 <math>a > b</math>；则 <math>ac > bc</math>。
:* 若<math>c</math>为 正数 且 <math>a < b</math>；则 <math>ac < bc</math> 。
:* 若<math>c</math>为 [[负数]] 且 <math>a > b</math>；则 <math>ac < bc</math> 。
:* 若<math>c</math>为 负数 且 <math>a < b</math>；则 <math>ac > bc</math>。

注意：当遇上不等关系求解时，比如已知 <math>A>B</math>，<math>C>D</math>，不可以认为 <math>A-C>B-D</math>，但根據[[#lemma_15|此描述]]可知 <math>A-D>B-C</math> 是真的。<!-- a < b, c < d => a - d < b - c ;;; B < A, D < C => B - C < A - D -->

== 鏈式表示法 ==
* <math>a < b < c</math> 代表「<math>a < b</math> 且 <math>b < c</math>」。
* <math>a \le b \le c</math> 代表「<math>a \le b</math> 且 <math>b \le c</math>」。
* <math>a < b \le c</math> 代表「<math>a < b</math> 且 <math>b \le c</math>」。
* <math>a \le b < c</math> 代表「<math>a \le b</math> 且 <math>b < c</math>」。

== 举例 ==
{{row hover highlight}}
* 若<math>x>0</math> ；则
:: <math>x^x \ge \left( \frac{1}{e}\right)^\frac{1}{e},</math>
* 若<math>x>0</math>；则
:: <math>x^{x^x} \ge x\,</math>
* 若<math>x,y,z>0</math>；则
:: <math>(x+y)^z + (x+z)^y + (y+z)^x > 2\,</math>
* 若<math>x,y,z>0</math>；则
:: <math>x^x y^y z^z \ge (xyz)^\frac{x+y+z}{3},</math>
* 若<math>a,b>0</math>；则
:: <math>a^a + b^b \ge a^b + b^a\,</math>
* 若<math>a,b>0</math>；则
:: <math>a^{ea} + b^{eb} \ge a^{eb} + b^{ea}\,</math>
* 若<math>a,b,c>0</math>；则
:: <math>a^{2a} + b^{2b} + c^{2c} \ge a^{2b} + b^{2c} + c^{2a}\,</math>
* 若<math>a_1,\ldots,a_n>0</math>；则
:: <math>a_1^{a_2}+a_2^{a_3}+\cdots+a_n^{a_1}>1</math>
<ul id="lemma_10">
    <li>
        對於實數 <math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>、<math>d</math>，若 <math>a < b</math> 且 <math>c < d</math>；則
        <dl>
            <dd>
                {{NumBlk||<math>a + c < b + d</math>|{{EquationRef|ex1|例-1}}}}
                {| class="wikitable collapsible" style="width: 75%;"
                 ! style="text-align: left;" | 證明
                 |-
                 |
                 {| class="hover-highlight" style="width: 100%; border-collapse: collapse;"
                 |-
                 | {{NumBlk||<math>a < b</math>|RawN=.|'''('''{{EquationRef|10}}''')''' [前提]}}
                 |-
                 | {{NumBlk||<math>c < d</math>|RawN=.|'''('''{{EquationRef|15}}''')''' [前提]}}
                 |-
                 | {{NumBlk||<math>a - b< 0</math>|RawN=.|'''('''{{EquationRef|20}}''')''' 源自 '''('''{{EquationNote|10}}''')'''}}
                 |-
                 | {{NumBlk||<math>0 < d - c</math>|RawN=.|'''('''{{EquationRef|25}}''')''' 源自 '''('''{{EquationNote|15}}''')'''}}
                 |}
                 <p style="text-align: left;">'''('''{{EquationNote|20}}''')''' 及 '''('''{{EquationNote|25}}''')''' 經由[[#transitive-property|遞移性質]]可以得到</p>
                 {| class="hover-highlight" style="width: 100%; border-collapse: collapse;"
                 |-
                 | {{NumBlk||<math>a - b < d - c</math>|RawN=.|'''('''{{EquationRef|30}}''')''' 源自 '''('''{{EquationNote|20}}''')''' '''('''{{EquationNote|25}}''')'''}}
                 |-
                 | {{NumBlk||<math>a - b + (b + c) < d - c + (b + c)</math>|RawN=.|'''('''{{EquationRef|35}}''')''' 源自 '''('''{{EquationNote|30}}''')'''}}
                 |-
                 | {{NumBlk||<math>a + c < b + d</math>|RawN=.|'''('''{{EquationRef|40}}''')''' 源自 '''('''{{EquationNote|35}}''')''' [結論]}}
                 |}
                |}
            </dd>
        </dl>
    </li>
</ul> <!--
* 對於實數 <math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>、<math>d</math>，若 <math>a < b</math> 且 <math>c < d</math>；則
*:<math>a + c < b + d</math>
** 證明
**<math>a + c < b + d</math>
-->
<div id="lemma_15">
* 對於實數 <math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>、<math>d</math>，若 <math>a < b</math> 且 <math>c < d</math>；則
 {{NumBlk|::|<math>a - d < b - c</math>|{{EquationRef|ex2|例-2}}}}
 <!--
{| class="collapsed wikitable collapsible"
! (證明標題)
|-
| (證明內容)
|}
-->
   <div style="margin-left: 3.2em;"><!-- 1.6em * 2 -->
   {| class="wikitable collapsible" style="width: 75%;"
    ! style="text-align: left;" | 證明
    |-
    |
    {| class="hover-highlight" style="width: 100%; border-collapse: collapse;"
    |-
    | {{NumBlk||<math>a < b</math>|RawN=.|'''('''{{EquationRef|45}}''')''' [前提]}}
    |-
    | {{NumBlk||<math>c < d</math>|RawN=.|'''('''{{EquationRef|50}}''')''' [前提]}}
    |-
    | {{NumBlk||<math>- c > - d</math>|RawN=.|'''('''{{EquationRef|55}}''')''' 源自 '''('''{{EquationNote|50}}''')'''}}
    |-
    | {{NumBlk||<math>- d < - c</math>|RawN=.|'''('''{{EquationRef|60}}''')''' 源自 '''('''{{EquationNote|55}}''')'''}}
    |}
    <p>'''('''{{EquationNote|45}}''')''' 及 '''('''{{EquationNote|60}}''')''' 經由 '''('''{{EquationNote|ex1|例-1}}''')''' 可以得到</p>
    {| class="hover-highlight" style="width: 100%; border-collapse: collapse;"
    |-
    | {{NumBlk||<math>a + (- d) < b + (- c)</math>|RawN=.|'''('''{{EquationRef|65}}''')''' 源自 '''('''{{EquationNote|45}}''')''' '''('''{{EquationNote|60}}''')'''}}
    |-
    | {{NumBlk||<math>a - d < b - c</math>|RawN=.|'''('''{{EquationRef|70}}''')''' 源自 '''('''{{EquationNote|65}}''')''' [結論]}}
    |}
   |}
   </div>
</div>

== 参见 ==

* [[二元关系]]
* [[偏序关系]]
* [[不等號]]
* [[不等式列表]]

{{Authority control}}
[[Category:数学关系|B]]
[[Category:不等式|B]]
[[Category:初等代数|B]]