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[[数学]]上，一个从某个[[线性空间]]<math> V </math>到自身的[[线性变换]]

:<math> T : V \rightarrow V </math>

的'''不变子空间'''是<math>V</math>的一个[[线性子空间|子空间]]<math>W</math>使得<math>T(W)</math>包含于<math>W</math>。<math>T</math>的一个不变子空间也称为是''' <math>T</math>－不变'''的。

若<math>W</math>为<math>T</math>－不变，我们限制<math>T</math>到<math>W</math>上得到一个新的线性变换

:<math>T|W : W \rightarrow W</math>

不变子空间的存在使得对于<math>T</math>的研究变得更为简单。

当然<math> V </math>本身，和子空间<math>{0}</math>，是每个线性算子<math>T : V \rightarrow V</math>的平凡不变子空间。对于特定的线性算子，可能没有''非平凡''的不变子空间；譬如考虑二维实[[向量空间]]的[[旋转]]。 

另一个例子是：令<math>\textbf{v}</math>为<math>T</math>的一个[[特征向量]]，也即<math>T\textbf{v}= \lambda\textbf{v}</math>。则<math>W= \text{span}\{\textbf{v}\}</math>是<math>T</math>不变的。

进一步扩展这个例子，我们可以证明每个在一个至少两维的[[复数 (数学)|复]]有限[[维度|维]]向量空间的每个线性算子有一个非平凡的不变子空间：<math>T</math>的[[特征值]]是<math>T</math>的[[特征多项式]]的[[零点]]，而该多项式根据[[代数基本定理]]总是有零点的；然后我们可以取对应于该特征值的一个特征向量张成的空间。这个证明在实数域上不成立，因为不是所有实多项式都有一个实根。

== 矩阵表示 ==

在有限维向量空间上每个线性变换<math> T : V \rightarrow V </math>在选取了一个<math> V </math>的[[基 (线性代数)|基]]以后都可以用一个[[矩阵]]来表达。假设现在<math> W </math>是一个<math> T </math>不变子空间。取<math> W </math>的一个基<math>C = \{\textbf{i}_1,\cdots, \textbf{i}_k\}</math>，并扩充成为<math> V </math>的一个基<math> B </math>。则<math> T </math>对应于基<math> B </math>的矩阵<math>[T]_B</math>将有如下形式：
:<math> [T]_B = \begin{bmatrix} [T|_W]_C & * \\ 0 & * \end{bmatrix} </math>
其中左上角块表达了<math>W</math>中的向量的像还在<math>W</math>本身中因此是<math>W</math>的[[基向量]]的[[线性组合]]这一事实。

== 不变子空间问题 ==
:{{main|不变子空间问题}}

不变子空间问题主要是关于<math>V</math>是大于1维的[[复数 (数学)|复数]]域上的可分[[希尔伯特空间]]，而<math>T</math>是[[有界算子]]的情况的。它求证是否<math>T</math>总是有一个非平凡闭子空间。该问题直至2006年还未獲解答。若<math>V</math>只是[[巴拿赫空间]]，1984年[[Charles Read (数学家)|Charles Read]]证明存在[[反例]]。

== 推广 ==
更一般的，不变子空间可以定义在算子集合上（[[算子代数]]，[[群表示]]），它们是在该集合中的每个算子下不变的子空间。

例如，给定一个群<math>G</math>在向量空间<math>V</math>上的表示，每个<math>G</math>的元素<math>g</math>有一个对应的线性变换<math> T(g) : V \rightarrow V </math>。若<math>V</math>的子空间<math>W</math>在所有这些变换下不变，则它是一个[[群表示|子表示]]，而群<math>G</math>以自然的方式作用于<math>W</math>上。

[[Category:線性代數|B]]
[[Category:泛函分析|B]]
[[Category:算子理论|B]]