查看“︁不动点定理”︁的源代码

在数学中，'''不动点定理'''是一個結果表示[[函数]]''F''在某種特定情況下，至少有一個[[不动点]]存在，即至少有一个点''x''能令函数<math>F(x)=x</math>。

在数学中有很多定理能保证函数在一定的条件下必定有一个或更多的不动点，而在这些最基本的定性结果当中存在不动点及其定理被应用的结果具有非常普遍的价值。

== 分析领域 ==
在[[巴拿赫不动点定理]]中给出了一般准则：如果满足該准则，保证[[迭代]]函数程序可以产生一个固定点。

[[布劳尔不动点定理]]的结果说：任何封闭[[单位球]]的[[连续函数]]在n维[[欧几里德空间]]本身必须有一个不动点，但它并没有说明如何找到不动点（见：{{tsl|en|Sperner's lemma|斯苯纳引理}}）。

例如，[[余弦]]函数在[&minus;1, 1]区间连续且映射到[&minus;1, 1]区间上，须一个不动点。描绘余弦函数图时这是清楚的；该不动点发生在余弦曲线 <math>y = \cos(x)</math> 与直线 <math>y = x</math> 交点上。在数值上，不动点是<math>x \approx 0.73908513321516</math>。

[[代数拓扑]]的{{tsl|en|Lefschetz fixed-point theorem|莱夫谢茨不动点定理}}（和{{tsl|en|Nielsen fixed-point theorem|尼尔森不动点定理}}）值得注意，它在某种意义上给出了一种计算不动点的方法。存在对博拉奇空间的概括和一般化，适用于偏微分方程理论。见：无限维空间的不动点定理。

[[分形压缩]]的{{tsl|en|collage theorem|拼贴定理}}证明，对许多图像存在一个相对较小函数的描述，当迭代适用于任何起始分形可迅速收敛在理想分形上。

== 离散数学和理论计算机科学领域 ==
[[克纳斯特－塔斯基定理]]某种程度上從分析移除，而且不涉及连续函数。它指出在[[完全格]]上的任何[[单调函数|次序保持函数]]都有一個不动点，甚至是一個最小不动点。见{{tsl|en|Bourbaki–Witt theorem|布尔巴基－维特定理}}。

[[λ演算]]的共同主题是找到给出λ表达式的不动点。每个λ表达式都有一个不动点，[[不动点组合子]]是一个“函数”，即输入一个λ表达式并输出该表达式的一个不动点。一个重要的不动点组合是{{tsl|en|Fixed-point_combinator#Y_combinator|Y 组合子}}，它使用[[递归]]定义。

在-{zh-hans:程序; zh-hant:程式}-语言的[[指称语义]]，一個克纳斯特－塔斯基定理的特例用于建立递归定义的语义。不动点定理虽然适用于“相同”函数（从逻辑的角度来看），但其理论发展完全不同。

递归函数的相同定义可用{{tsl|en|Kleene's recursion theorem|克莱尼递归定理}}在[[可计算性理论]]中给出。这些结果并不是等价的定理，克拉斯特尔－塔斯基定理是个比那用于指称语义的更强的结果。<ref>''The foundations of program verification'', 2nd edition, Jacques Loeckx and Kurt Sieber, John Wiley & Sons, ISBN 0-471-91282-4, Chapter 4; theorem 4.24, page 83, is what is used in denotational semantics, while Knaster–Tarski theorem is given to prove as exercise 4.3–5 on page 90.</ref>然而，它却与[[丘奇－图灵论题]]的直观含义相同：一个递归函数可描述為特定泛函的最小不动点，将函数映射至函数。

迭代函数找不动点的技术还可用在集理论；{{tsl|en|fixed-point lemma for normal functions |正常函数的定点引理}}指出任何严格递增的函数从[[序数|序]]到序有一个（甚至有许多）不动点。

在[[偏序集]]上的每个[[闭包算子]]都有许多不动点；存在关于闭包算子的“封闭要素”，它们是闭包算子首先被定义的主要理由。

== 不动点定理列表 ==
*{{tsl|en|Atiyah–Bott fixed-point theorem|阿蒂亚－鲍特不动点定理}}
*[[巴拿赫不動點定理]]
*{{tsl|en|Borel fixed-point theorem|波莱尔不动点定理}}
*[[布劳尔不动点定理]]
*{{tsl|en|Caristi fixed-point theorem|卡若斯梯不动点定理}}
*[[对角线引理]]
*{{tsl|en|Fixed-point property|不动点性质}}
*[[超凸度量空間|射度量空间]]
*[[角谷不动点定理]]
*[[克莱尼不动点定理]]
*{{tsl|en|Topological degree theory|拓撲度數理論|拓扑度理论}}
*{{tsl|en|Tychonoff fixed-point theorem|吉洪诺夫不动点定理}}
*{{tsl|en|Woods Hole fixed-point theorem|伍兹霍尔不动点定理}}

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
*{{cite book
 | author     = Agarwal, Ravi P.; Meehan, Maria; O'Regan, Donal
 | title      = Fixed Point Theory and Applications
 | url     = https://archive.org/details/fixedpointtheory0000agar
 | year       = 2001
 | publisher  = Cambridge University Press
 | isbn         = 0-521-80250-4
}}
*{{cite book
 | author     = Aksoy, Asuman; Khamsi, Mohamed A.
 | title      = Nonstandard Methods in fixed point theory
 | url     = https://archive.org/details/nonstandardmetho0000akso
 | year       = 1990
 | publisher  = Springer Verlag
 | isbn         = 0-387-97364-8
}}
*{{cite book
 | author     = Border, Kim C.
 | title      = Fixed Point Theorems with Applications to Economics and Game Theory
 | year       = 1989
 | publisher  = Cambridge University Press
 | isbn         = 0-521-38808-2
}}
*{{cite book
 | author     = Brown, R. F. (Ed.)
 | title      = Fixed Point Theory and Its Applications
 | year       = 1988
 | publisher  = American Mathematical Society
 | isbn         = 0-8218-5080-6
}}
*{{cite book
 | author = Dugundji, James; Granas, Andrzej
 | title = Fixed Point Theory
 | year = 2003
 | publisher = Springer-Verlag
 | isbn         = 0-387-00173-5
}}
*{{cite book
 | author     = Kirk, William A.; Goebel, Kazimierz
 | title      = Topics in Metric Fixed Point Theory
 | url     = https://archive.org/details/topicsinmetricfi0000goeb
 | year       = 1990
 | publisher  = Cambridge University Press
 | isbn         = 0-521-38289-0
}}
*{{cite book
 | author     = Kirk, William A.; Khamsi, Mohamed A.
 | title      = An Introduction to Metric Spaces and Fixed Point Theory
 | year       = 2001
 | publisher  = John Wiley, New York.
 | isbn         = 978-0-471-41825-2
}}
*{{cite book
 | author     = Kirk, William A.; Sims, Brailey
 | title      = Handbook of Metric Fixed Point Theory
 | url     = https://archive.org/details/isbn_0792370732
 | year       = 2001
 | publisher  = Springer-Verlag
 | isbn         = 0-7923-7073-2
}}
*{{cite book
 | author     = Šaškin, Jurij A; Minachin, Viktor; Mackey, George W.
 | title      = Fixed Points
 | url     = https://archive.org/details/fixedpoints0002shas
 | year       = 1991
 | publisher  = American Mathematical Society
 | isbn         = 0-8218-9000-X
}}

== 外部链接 ==
* [http://www.math-linux.com/spip.php?article60 不动点方法]{{Wayback|url=http://www.math-linux.com/spip.php?article60 |date=20130305232447 }}

[[Category:不动点定理| ]]
[[Category:闭包算子]]
[[Category:迭代法]]