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{{各地中文名
|cn=不动点
|tw=定點、不動點（數學）<ref>{{cite web |url= http://terms.naer.edu.tw/detail/725994/ |title= fixed point |publisher= [[國家教育研究院]] |accessdate= 2016-04-08 |archive-url= https://web.archive.org/web/20160422151413/http://terms.naer.edu.tw/detail/725994/ |archive-date= 2016-04-22 |dead-url= yes }}</ref>
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}}
[[File:Fixed Point Graph.png|thumb|right|有三个不动点的函数]]
在数学中，[[函数]]的'''不动点'''或'''定点'''是指被这个[[函数]][[映射]]到其自身一个点。例如，定义在实数上的函数<math>f</math>，

:<math>f(x)=x^2-3x+4</math>，

则<math>2</math>是函数<math>f</math>的一个不动点，因为<math>f(2)=2</math>。

也不是每一个函数都具有不动点。例如定义在[[实数]]上的函数<math>f(x)=x+1</math>就没有不动点。因为对于任意的实数，<math>x</math>永远不会等于<math>x+1</math>。用画图的话来说，不动点意味着点<math>(x,f(x))</math>在直线<math>y=x</math>上，或者换句话说，函数<math>f</math>的图像与那根直线有共点。上例<math>f(x)=x+1</math>的情况是，这个函数的图像与那根直线是一对[[平行]]线。

在函数的有限次[[迭代函数|迭代]]之后回到相同值的点叫做[[周期点]]；不动点是周期等于 1 的周期点。

== 吸引不动点 ==

[[File:Cosine fixed point.svg|250px|thumb|[[不动点迭代]] ''x''<sub>''n''+1</sub>&nbsp;=&nbsp;cos ''x''<sub>''n''</sub> 带有初始值 ''x''<sub>1</sub> = -1。]]

函数 ''f'' 的'''吸引不动点'''是 ''f'' 的不动点 ''x''<sub>0</sub> 使得，對在足够接近 ''x''<sub>0</sub> 的定义域中的任何 ''x'' 值而言，[[迭代函数]]序列

:<math>x,\ f(x),\ f(f(x)),\ f(f(f(x))), \dots</math>

[[收敛]]于 ''x''<sub>0</sub>。如何接近才是“足够接近”有时是个微妙的问题。

自然[[余弦函数]]（自然意味着使用[[弧度]]而非[[角度]]）有精确的一个吸引不动点。在这种情况下，“足够接近”根本不是严格标准 -- 为了展示这个情况，在计算器上开始于任何实数并重复按“cos”键。它会快速的收敛于大约 0.73908513，这就是不动点。这是余弦函数和线 <math>y = x</math> 在图上的交叉点。

不是所有不动点都是吸引的：例如，<math>x=0</math> 是函数 <math>f(x)=2 x</math> 的不动点，但是这个函数对非零任意值的迭代快速的发散。

吸引不动点是更广泛的数学概念[[吸引子]]的特殊情况。

吸引不动点被称为'''稳定不动点'''如果它也是[[李雅普诺夫稳定性]]的。

一个不动点被称为是'''中立稳定不动点'''如果它是[[李雅普诺夫稳定性]]的但不是吸引的。[[二阶齐次线性微分方程]]的中心点是中立稳定不动点的例子。

== 應用 ==
[[平衡 (物理學)|平衡]]和[[穩定性]]是許多領域的基本概念，可以用不动点來描述。例如在經濟學[[博弈论|賽局理論]]中，一個賽局中的最佳回應：[[納什均衡點]]即是一個不动点。然而在物理學中，更確切地說在相變理論中，靠近一不穩定的不动点線性化，是1982年獲頒諾貝爾物理學獎得主[[肯尼斯·威爾森|威爾遜]]，因他發明了[[重整化群]]的作品，並對“[[臨界現象]]”這個術語作了數學解釋。

對於編程語言的編譯器，例如在[[数据流分析]]中，不动点計算通常用於需要代碼優化的程序分析。網際網路上所有網頁的PageRank值向量，即是由其鏈接結構導出的線性變換的不动點。

在邏輯學家[[索尔·阿伦·克里普克#真值|索尔·阿伦·克里普克]]具有影響力的真相理論中，也運用了不动點的觀點。

== 保证不动点存在的定理 ==

在数学的不同部分有很多定理保证函数、在一定的条件下，必定有一个或者更多的不动点。这些在最基本的定性结果当中，那些普遍性应用的[[不动点定理]]是非常具有价值的洞察。

== 参考资料 ==
{{reflist}}

{{平衡}}
{{Authority control}}

[[Category:不动点|*]]
[[Category:数学分析]]
[[Category:序理论|B]]