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集合 {1,2,3,4}的幂集代数，其中绿色部分组成上部集合↑{1} ，白色部分组成下部集合 ↓{2,3,4}。]]
在[[数学]]中，'''上部集合'''（'''向上闭合集合'''）是给定[[偏序集合]] (''X'',≤) 的子集 ''Y''，使得对于所有元素 ''x'' 和 ''y''，如果 ''x'' 小于等于 ''y''，并且 ''x'' 是 ''Y'' 的一个元素，则 ''y'' 也在 ''Y'' 中。更加形式的说 

: <math>\forall x\forall y\left[x \le y \land x \in Y \Rightarrow \; y \in Y\right]</math>

[[对偶性 (序理论)|对偶]]概念是'''下部集合'''('''向下闭合集合''')，它是给定偏序集合 (''X'',≤) 的任何子集 ''Y''，使得对于所有元素 ''x'' 和 ''y''，如果 ''x'' 小于等于 ''y''，并且 ''y'' 是 ''Y'' 的一个元素，则 ''x'' 也在 ''Y'' 中。更加形式的说 

: <math>\forall x\forall y\left[x \le y \land y \in Y \Rightarrow \; x \in Y\right]</math>

== 性质 ==
所有偏序集合都是自身的上闭集合。上闭集合的[[交集]]还是上闭集合。任何上闭集合的[[补集]]都是下闭集合，反之亦然。

给定偏序集合 (''X'',≤)，用[[子集|包含]]关系排序的 ''X'' 的下闭集合的家族是[[完全格]]，'''下闭集合格''' O(''X'')。

给定有序集合 ''X'' 的任意子集 ''Y''，包含 ''Y'' 的最小的上闭集合使用上箭头指示为 ↑''Y''。对偶的，包含 ''Y'' 的最小下闭集合使用下箭头指示为 ↓''Y''。下闭集合被称为'''主要'''的，如果它有 ↓{''x''} 的形式，这里的 ''x'' 是 ''X'' 的一个元素。一个有限有序集合 ''X'' 的所有的下闭集合 ''Y'' 等于包含 ''Y'' 的所有[[极大元]]的最小下闭集合：''Y''&nbsp;=&nbsp;↓Max(''Y'')，这里的 Max(''Y'') 指示包含 ''Y'' 的极大元素的集合。

[[有向集合|有向]]下闭集合叫做[[序理想]]。

任何上闭集合的[[极小元]]形成一个[[反链]]（antichain）。反过来任何反链 ''A'' 确定一个上闭集合 {''x''：对于 ''A'' 中某个 ''y'', ''x'' ≥ ''y''}。对于满足[[降链条件]]的偏序，在反链和上闭集合之间这种对应是一对一的，但对于更一般的偏序这不为真。

== 序数 ==
[[序数]]通常被当作所有更小序数的集合。所以序数严格是序数的下闭集合。

== 引用 ==
*Blanck, J. (2000) "Domain representations of topological spaces". Theoretical Computer Science, '''247''', 229–255.
*Hoffman, K. H. (2001), [https://web.archive.org/web/20070621125416/http://www.mathematik.tu-darmstadt.de:8080/Math-Net/Lehrveranstaltungen/Lehrmaterial/SS2003/Topology/separation.pdf ''The low separation axioms (T<sub>0</sub>) and (T<sub>1</sub>)'']
* {{cite book
 | author = Davey, B.A., and Priestley, H. A.
 | year = 2002
 | title = Introduction to Lattices and Order
 | edition = Second Edition
 | publisher = Cambridge University Press
 | id = ISBN 978-0-521-78451-1
}}

== 外部链接 ==
*[https://web.archive.org/web/20060925233106/http://www.sm.luth.se/~jens/pdf/top.pdf "Domain representations of topological spaces"]

[[Category:序理论|S]]

[[ru:Частично упорядоченное множество#Верхнее и нижнее множество]]