查看“︁上积”︁的源代码

[[代数拓扑]]中，'''上积'''或'''杯积'''（cup product）是将两个度为''p''和''q''的[[上循环]]联接起来，形成度为''p''+''q''的复合循环的方法。这定义了上同调中的结合（与分散）分次交换积，将空间''X''的上同调转变为分次环<math>H^*(X)</math>，称作[[上同调环]]。上积由[[詹姆斯·韦德尔·亚历山大]]、[[爱德华·切赫]]与[[哈斯勒·惠特尼]]于1935–1938年间提出，1944年[[塞缪尔·艾伦伯格]]给出了一般定义。
==定义==
[[奇异上同调]]中，'''上积'''构造给出了[[拓扑空间]]''X''的分次[[上同调环]]<math>H^*(X)</math>上的积。

构造始于上链之积：若<math>\alpha^p</math>是''p''上链，且<math>\beta^q</math>是''q''上链，则
:<math>(\alpha^p \smile \beta^q)(\sigma) = \alpha^p(\sigma \circ \iota_{0,1, ... p}) \cdot \beta^q(\sigma \circ \iota_{p, p+1 ,..., p + q})</math>
其中σ是[[奇异上同调|奇异]]<math> (p + q)</math>-[[单纯形]]，<math> S \subset \{0,1,...,p+q \} </math>, <math> \iota_S </math>
是S张成的单纯形[[规范形|规范]][[嵌入 (数学)|嵌入]]<math>(p+q)</math>-单纯形，后者的顶点索引为<math>\{0,...,p+q \}</math>。

非正式地，<math> \sigma \circ \iota_{0,1, ..., p}</math>是σ的第''p''个'''正面'''（front face），<math>\sigma \circ \iota_{p, p+1, ..., p + q}</math>是σ的第''q''个'''背面'''（back face）。

上链<math>\alpha^p</math>与<math>\beta^q</math>的上积的上边缘（coboundary）为
:<math>\delta(\alpha^p \smile \beta^q) = \delta{\alpha^p} \smile \beta^q + (-1)^p(\alpha^p \smile \delta{\beta^q}).</math>
两个上循环的上积仍是上循环，上边缘与上循环（任意顺序）的积仍是上边缘。上积在上同调中引入了双线性运算
: <math> H^p(X) \times H^q(X) \to H^{p+q}(X). </math>

==性质==
上同调中的上积满足以下特性
:<math>\alpha^p \smile \beta^q = (-1)^{pq}(\beta^q \smile \alpha^p)</math>
因此相应的乘法是[[超交换代数|分次交换]]的。

上积的[[函子]]性体现在以下方面：若
:<math>f\colon X\to Y</math>
是连续函数，
:<math>f^*\colon H^*(Y)\to H^*(X)</math>
是上同调中的诱导[[同态]]，则
:<math>f^*(\alpha \smile \beta) =f^*(\alpha) \smile f^*(\beta),</math>
对<math>H^*(Y)</math>中所有类α、β。也就是说，''f'' <sup>*</sup>是（分次）[[环同态]]。

==解释==
可将上积<math> \smile \colon H^p(X) \times H^q(X) \to H^{p+q}(X)</math>视作由下面的组合诱导而来：<blockquote><math> \displaystyle C^\bullet(X) \times C^\bullet(X) \to C^\bullet(X \times X) \overset{\Delta^*}{\to} C^\bullet(X) </math></blockquote>以<math>X</math>与<math>X \times X</math>的[[链复形]]表示，其中第一个映射是[[克奈定理|克奈映射]]，第二个映射由[[对角函子|对角]]<math> \Delta \colon X \to X \times X</math>诱导。

这个构成传给商，便给出了良定义的上同调映射，这就是上积。这种方法解释了上同调上积的存在，但没有解释同调上积：<math> \Delta \colon X \to X \times X</math>诱导了映射<math>\Delta^* \colon H^\bullet(X \times X) \to H^\bullet(X)</math>，但还会诱导映射<math>\Delta_* \colon H_\bullet(X) \to H_\bullet(X \times X)</math>，后者与我们定义积的方法相反。不过，这在定义[[下积]]时是有用的。

上积的这种表达体现了双线性，即<math> (u_1 + u_2) \smile v = u_1 \smile v + u_2 \smile v </math>；<math> u \smile (v_1 + v_2) = u \smile v_1 + u \smile v_2. </math>

==例子==
上积可用来区分流形和具有相同上同调群的空间之楔。空间<math>X:= S^2\vee S^1\vee S^1</math>与环面''T''具有相同的上同调群，但具有不同的上积。在''X''的情况下，与 <math>S^1</math>相关的上链的乘法是退化的；而在''T''中，第一个上同调群中的乘法可用于将环面分解为2胞图，从而使积等于'''Z'''（更一般地说是''M''，此处是基模）。

==其他定义==
===上积与微分形式===
在[[德拉姆上同调]]中，[[微分形式]]的上积由[[楔积]]导出。即，两个[[闭形式|闭]]微分形式的楔积属于两个原德拉姆类的上积的德拉姆类。

===上积与几何相交===
[[File:Linking Number 1.svg|thumb|[[环绕数]]可用链的补上的非零上积定义。这两个链循环在 <math>\mathbb{R}^3</math>变形中的补退化为环面和2球的楔和，其有度为1、不为零的上积。]]
对于定向流形，有几何启发式，即“上积与相交是对偶的”。<ref name=":0">{{Cite web|url=https://math.berkeley.edu/~hutching/teach/215b-2011/cup.pdf|title=Cup Product and Intersections|last=Hutchings|first=Michael|date=|website=|archive-url=https://web.archive.org/web/20230308114556/https://math.berkeley.edu/~hutching/teach/215b-2011/cup.pdf|archive-date=2023-03-08|access-date=|dead-url=no}}</ref><ref>{{Citation|last=Ciencias TV|title=Informal talk in Derived Geometry (Jacob Lurie)|date=2016-12-10|url=https://www.youtube.com/watch?v=YWpD6c69k_M |archive-url=https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211221/YWpD6c69k_M |archive-date=2021-12-21 |url-status=live|accessdate=2018-04-26}}{{cbignore}}</ref>

令<math>M</math>为<math>n</math>维定向[[微分流形|光滑流形]]。若两个余维分别是''i''、''j''的子流形<math>A,B</math>[[横截 (数学)|横截]]着交，那么它们的交<math>A \cap B</math>又是余维是''i'' + ''j''的子流形。将这些流形的基本同调类的像置于包含（inclusion）之中，就可以得到同调上的双线性积，与上积是[[庞加莱对偶性|庞加莱对偶]]的，即取庞加莱对<math>[A]^*, [B]^* \in H^{i},H^{j}</math>则有以下等式：

<math>[A]^* \smile [B]^*=[A \cap B]^* \in H^{i+j}(X, \mathbb Z)</math>.<ref name=":0" />

同样，[[环绕数]]也可用交来定义，将维数移动1，或者用链之补上的非零上积来定义。

==梅西积==
[[File:BorromeanRings.svg|thumb|[[梅西积]]推广了上积，允许定义“高阶环绕数“，即[[链群|米尔诺不变量]]。]]
{{main|梅西积}}
上积是二元运算。可以定义三元甚至多元的高阶运算，称作[[梅西积]]，是上积的推广。它是一种高阶[[上同调运算]]，目前只定义了一部分（只定义了部分三元运算）。

==另见==
*[[奇异同调]]
*[[同调]]
*[[下积]]
*[[梅西积]]

==参考文献==
{{Reflist}}
* James R. Munkres, "Elements of Algebraic Topology", Perseus Publishing, Cambridge Massachusetts (1984) {{ISBN|0-201-04586-9}} (hardcover) {{ISBN|0-201-62728-0}} (paperback)
* [[Glen E. Bredon]], "Topology and Geometry", Springer-Verlag, New York (1993) {{ISBN|0-387-97926-3}}
* Allen Hatcher, "[http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html Algebraic Topology] {{Wayback|url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html |date=20120206155217 }}", Cambridge Publishing Company (2002) {{ISBN|0-521-79540-0}}

[[Category:同调论]]
[[Category:代数拓扑]]
[[Category:二元运算]]