查看“︁上极限和下极限”︁的源代码

[[File:LimSup.svg|right|thumb|300px|上极限和下极限的示意图。數列 ''x''<sub>''n''</sub> 为蓝色。两个红色虛線曲线逼近數列 ''x''<sub>''n''</sub> 的上极限和下极限。數列的上下極限相等若且唯若此數列[[收敛]]]]
在[[微积分学]]中，'''上極限和下極限'''（{{lang-en|Limit superior and limit inferior}}）是指[[數列極限]]的上极限和下极限，可以大致想像為數列极限的上下界。舉例來說，數列 <math>\{(-1)^n\}_{n=1}^{\infty}</math> 的上極限為 1，下極限為 -1。
[[函数]]的上极限和下极限可以用类似方式考虑。{{notetag|参见[[极限 (数学)#函数的极限|函数的极限]]}}。集合的上极限和下极限分别是这个集合的[[极限点]]的[[上确界]]和[[下确界]]。

== 定义 ==

序列<math>(x_n)</math>的上极限定义是

:<math>\limsup_{n\rightarrow\infty}x_n=\inf_{n\geq 0}\,\sup_{k\geq n}x_k=\inf\{\,\sup\{\,x_k:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}</math>；

或者 

:<math>\limsup_{n\rightarrow\infty}x_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sup_{m\geq n}x_m\right)</math>。

同样的，序列<math>x_n</math>的下极限定义是

: <math>\liminf_{n\rightarrow\infty}x_n=\sup_{n\geq 0}\,\inf_{k\geq n}x_k=\sup\{\,\inf\{\,x_k:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}</math>；

或者

:<math>\liminf_{n\rightarrow\infty}x_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\inf_{m\geq n}x_m\right)</math>。

这些定义在任意的[[偏序集]]都适用，只需要[[上确界]]和[[下确界]]存在。
在[[完全格]]裡，上确界和下确界总是存在，所以其中的序列一定有上极限和下极限。

每当<math>\liminf x_n</math>和<math>\limsup x_n</math>都存在，那么

:<math>\liminf_{n\rightarrow\infty}x_n\leq\limsup_{n\rightarrow\infty}x_n</math>。

上极限和下极限也记为<math>\varlimsup_{n\rightarrow\infty} x_n</math>和<math>\varliminf_{n\rightarrow\infty} x_n</math>。

== 实数数列 ==

实数集 '''R''' 的[[数列]]对[[微积分]]很重要。'''R''' 不是[[完备格|完備格]]，但可以加入正负[[无穷]]以得到完備[[全序集]] <math>[-\infty,+\infty]</math>，形成[[完备格|完備格]]。那么在 <math>[-\infty,+\infty]</math> 中数列 <math>(x_n)</math>
[[極限 (數列)|收敛]]当且仅当 <math>\liminf x_n = \limsup x_n</math>，而这时 <math>\lim x_n</math> 等于上面的共同值。{{notetag|注意当只是考虑 '''R''' 时，收敛至 <math>-\infty</math> 或 <math>+\infty</math> 并不当作收敛，而是視作[[極限 (數學)|極限]]不存在。}}

若實數數列 <math>(x_n)</math> 的上極限為實數{{notetag|即為有限，不是 <math>\pm\infty</math> }}，那麼上極限是最小的實數 ''a''，使得對任意小的正實數 <math>\epsilon</math>，都存在足夠大的正整數 ''N''，使得對所有 <math>n\ge N</math>，都有 <math>x_n < a + \epsilon</math>。換言之，對任何大於上極限的實數，都存在 ''N'' 使得這實數是數列 <math>(x_n)_{n\ge N}</math> 的[[上界]]。

若實數數列 <math>(x_n)</math> 的下極限為實數，那麼下極限是最大的實數 ''b''，使得對任意小的正實數 <math>\epsilon</math>，都存在足夠大的正整數 ''N''，使得對所有 <math>n\ge N</math>，都有 <math>x_n > b - \epsilon</math>。換言之，對任何小於下極限的實數，都存在 ''N'' 使得這實數是數列 <math>(x_n)_{n\ge N}</math>的[[下界]]。

設 <math>(x_n)</math> 是整數數列。若其上極限為實數 ''a''，由於 <math>\lfloor a\rfloor </math> 也符合上述條件，故此 ''a'' 必是整數。{{notetag|<math>\lfloor a\rfloor </math> 是不大於 ''a'' 的最大整數。}}在條件中取 <math>\epsilon < 1</math>，得出 ''a'' 是最小的實數，使得存在正整數 ''N''，對所有 <math>n\ge N</math>，都有 <math>x_n \le a </math>。因此 ''a'' 是最大的整數，使得有無限個 <math>x_n = a </math>。同樣地，若其下極限為實數 ''b''，則 ''b'' 是最小的整數，使得有無限個 <math>x_n = b </math>。

若 <math>I=\liminf x_n</math> 和 <math>S=\limsup x_n</math>
，那么区间 <math>[I,S]</math> 不一定包含任何的 <math>x_n</math>，但是轻微扩大了的 [I-ε,S+ε]
对任意小的ε > 0都会包含除了有限项外所有的 ''x''<sub>''n''</sub>。区间 [''I'', ''S''] 是适合这个性质的最小闭区间。

===例子===
*設<math>x_n=(-1)^n\left(1+\frac 1 n\right)</math>，則<math>\liminf x_n=-1</math>，<math>\limsup x_n=1</math>。閉區間[-1, 1]中不包含任何<math>x_n</math>。
*考虑数列<math>x_n=\sin \!n</math>。应用[[圆周率|π]]的[[无理数]]性质，可以证明<math>\liminf x_n = -1</math>和<math>\limsup x_n = +1</math>。{{notetag|數列<math>\{1,2,3,...\}</math>取mod 2π後在[0, 2π]中是[[稠密]]的，故得出結果。由等分佈定理可知這數列在區間中是等分佈的。}}

*一个[[数论]]例子是

::<math>\liminf_{n\to\infty}(p_{n+1}-p_n)</math>

:其中<math>{p_n}</math>是第<math>n</math>个[[素数]]。{{notetag|下极限的值的猜测为2——这是[[孪生素数猜想]]。然而這個下極限是否為有限，是[[數論]]中長久以來的未解問題。直到2013年，[[張益唐]]首次證明下極限的值有限，並且小於7千萬。<ref name="annalsofmathematics">{{cite web | url=http://annals.math.princeton.edu/2014/179-3/p07 | title=Bounded gaps between primes | publisher=Annals of Mathematics | date=2013-05-21 | accessdate=2014-07-10 | author=Zhang, Yitang | language=en | archive-date=2014-03-11 | archive-url=https://web.archive.org/web/20140311154350/http://annals.math.princeton.edu/2014/179-3/p07 | dead-url=no }}</ref>截至2014年9月，下極限的值的上界已降至246。<ref>{{cite web|title=Bounded gaps between primes|url=http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Bounded_gaps_between_primes|website=Polymath wiki|accessdate=2014-09-24|archive-date=2013-06-20|archive-url=https://web.archive.org/web/20130620111740/http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Bounded_gaps_between_primes|dead-url=no}}</ref>由整數數列的下極限性質可知，有無限多的正整數''n''，使得<math>p_{n+1}-p_n</math>不大於246。}}

== 集的序列 ==

[[集合 (数学)|集合]]''X''的[[冪集]]''P''(''X'')是[[完备格|完備格]]。对于''P''(''X'')中的序列，也就是''X''的子集的序列，其上下极限也有用处。

若<math>X_n</math>是这样的序列，那么''X''的元素''a''属于<math>\liminf X_n</math>，当且仅当存在自然数<math>n_0</math>使得对于所有<math>n>n_0</math>，''a''在<math>X_n</math>裡。元素''a''属于<math>\limsup X_n</math>，当且仅当对所有自然数<math>n_0</math>，都存在一个指数<math>n>n_0</math>使得''a''在<math>X_n</math>裡。换句话说，<math>\limsup X_n</math>包含了所有这样的元素，其中的每一个，都有无限多个''n''，使得它在集合<math>X_n</math>裡；而<math>\liminf X_n</math>包含了所有这样的元素，其中的每一个，都有除了有限多个外的所有''n''，使得它在<math>X_n</math>裡。

以集合论的标准语言来说，一个集合序列的下确界是这些集合的可数交，也就是包含在所有集合裡的最大集合：

:<math>\inf\left\{\,X_m : m=1,2,3,\dots\,\right\}={\bigcap_{m=1}^\infty}X_m</math>。

令<math>I_n</math>为自<math>X_n</math>起的集合的下确界。那么序列<math>I_n</math>非递减，因为<math>I_n \sub I_{n+1}</math>。所以，第1至''n''个下确界的并集就是第''n''个下确界。下极限就是这序列的极限：

:<math>\liminf_{n\rightarrow\infty}X_n={\bigcup_{n=1}^\infty}\left({\bigcap_{m=n}^\infty}X_m\right)</math>。

上极限可以相反方式定义。一个集合序列的上确界是包含这些集合的最小集合，也就是它们的可数并：

:<math>\sup\left\{\,X_m : m=1,2,3,\dots\,\right\}={\bigcup_{m=1}^\infty}X_m</math>。

上极限是这个非递增的上确界序列的可数交（其中每个上确界都包含在前一个裡面）。

:<math>\limsup_{n\rightarrow\infty}X_n={\bigcap_{n=1}^\infty}\left({\bigcup_{m=n}^\infty}X_m\right)</math>。

例子或应用可见[[波莱尔－坎泰利引理]]，[[柯西-阿达马公式]]（Cauchy-Hadamard Formula）。

==注释==
{{notefoot}}
== 引用 ==
*{{cite book
 | last       = Amann
 | first      = H.
 | coauthors  = Escher, Joachim
 | title      = Analysis
 | publisher  = Basel; Boston: Birkhäuser
 | date       = 2005
 | pages      = 
 | isbn       = 0817671536
}}

*{{cite book
 | last       = González
 | first      = Mario O
 | title      = Classical complex analysis
 | publisher  = New York: M. Dekker
 | date       = 1991
 | pages      = 
 | isbn       = 0824784154 
}}
{{reflist}}
[[Category:实分析]]
[[Category:极限]]