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[[数学]]中，'''上同调运算'''自1950年代起称为[[代数拓扑]]，特别是[[同伦论]]的核心，其简单定义是：若''F''是定义[[上同调论]]的[[函子]]，则上同调运算应是''F''到自身的[[自然变换]]。自始至终有两个基本点：

# 运算可用组合方法研究；
# 运算效果是产生有趣的[[双交换子]]理论。

这些研究来自庞特里亚金、波斯尼科夫、[[诺曼·斯廷罗德]]等人的研究，他们首次定义了模2系数情形下[[奇异上同调]]的[[庞特里亚金上同调运算|庞特里亚金平方]]、[[波斯尼科夫平方]]、[[斯廷罗德代数|斯廷罗德根]]运算。其中的组合方面是在[[链复形|上链]]层面上对自然对角映射失效的表述。运算的[[斯廷罗德代数]]的一般理论与[[对称群]]的一般理论密切相关。
[[亚当斯谱序列]]中，双交换子方面隐含在[[Ext函子]]、Hom函子的[[导出函子]]的使用中；若在斯廷罗德代数作用上存在双交换子性，也只是在导出的层面上。其趋同于[[稳定同伦论]]中的群，而关于稳定同伦论的信息却很难获得。这种联系使[[同伦论]]对上同调运算产生了浓厚兴趣，自此成为一个研究课题。[[餘調#公理与广义上同调论|非凡上同调论]]有自己的上同调运算，可能表现出更丰富的约束。

==正式定义==
:<math>(n,q,\pi,G)\,</math>

型'''上同调运算'''<math>\theta</math>是定义在[[CW复形]]上的函子

:<math>\theta:H^{n}(-,\pi)\to H^{q}(-,G)\,</math>

的[[自然变换]]。

==与艾伦伯格–麦克莱恩空间的关系==
CW复形的上同调用[[艾伦伯格–麦克莱恩空间]][[可表函子|可表]]，因此由[[米田引理]]，<math>(n,q,\pi,G)</math>型上同调运算由<math>K(\pi,n) \to K(G,q)</math>的[[同伦]]类映射给出。再次利用[[可表函子|可表性]]，上同调运算由<math>H^{q}(K(\pi,n),G)</math>的一个元素给出。

令<math>[A,B]</math>表示''A''到''B''的映射的同伦类集，

::<math>\begin{align}\displaystyle\mathrm{Nat}(H^n(-,\pi),H^q(-,G)) &= \mathrm{Nat}([-,K(\pi,n)],[-,K(G,q)])\\ &= [K(\pi,n),K(G,q)]\\ &= H^q(K(\pi,n);G).\end{align}</math>

==另见==
*[[二阶上同调运算]]

==参考文献==
*{{Citation | last1=Mosher | first1=Robert E. | last2=Tangora | first2=Martin C. | title=Cohomology operations and applications in homotopy theory | origyear=1968 | url=https://books.google.com/books?id=FFCaPwAACAAJ | publisher=Dover Publications | location=New York | isbn=978-0-486-46664-4 | mr=0226634 | year=2008}}
*{{Citation | last1=Steenrod | first1=N. E. | editor1-last=Epstein | editor1-first=D. B. A. | editor1-link=David B. A. Epstein | title=Cohomology operations | url=https://books.google.com/books?id=CF3bt4oYZ2oC | publisher=Princeton University Press | series= Annals of Mathematics Studies | isbn=978-0-691-07924-0 | mr=0145525 | year=1962 | volume=50}}

[[Category:代数拓扑]]