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[[File:Upper half-plane.svg|thumb|上半平面]]

'''上半平面'''（upper half-plane）'''H'''是一[[数学]]名詞，是指由[[虛部]]為正的[[复数 (数学)|复数]]組成的集合：

:<math>\mathbb{H} = \{x + iy \mid y > 0; x, y \in \mathbb{R} \}.</math>

此詞語的由來是因為虛數''x''&nbsp;+&nbsp;''iy''常視為是在[[笛卡儿坐标系]]下，[[平面 (数学)|平面]]中的點(''x'',''y'')，若垂直方向為Y軸時，其上[[半平面]]對應X軸以上的區域，因此也對應''y''&nbsp;>&nbsp;0區域的複數。

上半平面是許多[[複分析]]中重要函數的[[定義域]]，特別是[[模形式]]。''y''&nbsp;<&nbsp;0的下半平面其實也有類似的意義，不過在定義上，較少人用下半平面來定義。[[单位圆盘|开单位圆盘]] '''D'''（所有[[绝对值]]小於1的複數形成的集合）可以由[[共形映射]]轉換到'''H'''（參照[[庞加莱度量]]），因此表示有可能在'''H'''和'''D'''之間轉換。

上半平面在[[双曲几何]]中有重要的地位，[[庞加莱半平面模型]]提供一種檢驗{{le|雙曲運動|hyperbolic motion}}的方式。[[龐加萊度量]]提供此空間下的雙曲[[度量张量]]。

[[曲面]]的[[单值化定理]]提到上半平面是所有[[高斯曲率]]為負常數之空間的[[覆疊空間#萬有覆疊空間|萬有覆疊空間]]。

'''閉上半平面'''（closed upper half-plane）是上半平面和X軸的[[并集]]，也是上半平面的[[闭包 (拓扑学)|闭包]]。

==擴展==
在[[微分几何]]中常見的擴展是{{le|双曲空间|hyperbolic ''n''-space|双曲n-空间}} '''H'''<sup>''n''</sup>，最大对称，[[單連通]]，[[截面曲率]]為-1的n維[[黎曼流形]]。此表示方式下，上半平面為'''H'''<sup>2</sup>因為其[[實數|實]][[維度]]為2。

[[数论]]中的[[希爾伯特模形式]]和一些函數在許多上半平面組成的空間'''H'''<sup>''n''</sup>有關。另一個數論研究者感興趣的空間是{{le|西格爾上半平面|Siegel upper half-space}}'''H'''<sub>''n''</sub>，是[[西格爾模形式]]的定義域。

==相關條目==
* {{le|尖點鄰域|Cusp neighborhood}}
* [[模曲線]]
* {{le|富克斯群|Fuchsian group}}
* [[基本域]]
* [[半空间]]
* [[双曲几何]]，特別是[[庞加莱半平面模型]] 
* {{le|克萊茵群|Kleinian group}}
* {{le|模群|Modular group}}
* [[黎曼曲面]]
* {{le|Schwarz-Ahlfors-Pick定理|Schwarz-Ahlfors-Pick theorem}}

==參考資料==
*{{MathWorld|title=Upper Half-Plane|urlname=UpperHalf-Plane}}
{{数学分析小条目}}
[[Category:复分析]]
[[Category:雙曲幾何]]
[[Category:微分几何]]
[[Category:数论]]
[[Category:模形式]]