查看“︁三进制”︁的源代码

{{NoteTA
|T=zh-cn:三进制;zh-sg:三进制;zh:三進位;zh-tw:三進位;zh-hk:三進制;zh-mo:三進制
|G1=IT
|G2=Math
}}

{{Table Numeral Systems}}
'''三进制'''是以[[3]]为[[底数 (进制)|底数]]的[[进制]]。和[[二进制]]一样，三进制的数位，称为三进制位（trit），每个三进制位包含<math>\log_2 3</math>（约1.58个）二进制位的信息量。<ref>[http://www.americanscientist.org/content/AMSCI/AMSCI/ArticleAltFormat/20035214317_146.pdf 三进制]{{Wayback|url=http://www.americanscientist.org/content/AMSCI/AMSCI/ArticleAltFormat/20035214317_146.pdf |date=20051231211421 }}</ref>通常，三进制中使用0、1、2三个数字。但在[[平衡三进制]]中，则使用-1（记作T）、0、1来表达。

== 表示形式 ==

例如，{{進制| 10 | 365 |sub=3}}在常见的三进制表示法中的写法是{{進制| 3 | 365 | sub=3}}。

== 运算规则 ==
=== 三进制的四则运算 ===
{|
|-
! 加 !! 减 !! 乘 !! 除
|-
| 
{| class="wikitable"
|-align="center"
! + !! 0 !! 1 !! 2
|-align="center"
! 0 
| 0 || 1 || 2
|-align="center"
! 1 
| 1 || 2 || 10
|-align="center"
! 2 
| 2 || 10 || 11
|}
||
{| class="wikitable"
|-align="center"
! - !! 0 !! 1 !! 2
|-align="center"
! 0 
| 0 || 1 || 2
|-align="center"
! 1 
| -1 || 0 || 2
|-align="center"
! 2 
| -2 || -1 || 0
|}
|| 
{| class="wikitable"
|-align="center"
! × !! 0 !! 1 !! 2
|-align="center"
! 0 
| 0 || 0 || 0
|-align="center"
! 1 
| 0 || 1 || 2
|-align="center"
! 2 
| 0 || 2 || 11
|}
|| 
{| class="wikitable"
|-align="center"
! ÷ !! 0 !! 1 !! 2
|-align="center"
! 0 
| <small>NaN</small> || <small>NaN</small> || <small>NaN</small>
|-align="center"
! 1 
| 0 || 1 || 2
|-align="center"
! 2 
| 0 || 0.<font style="text-decoration: overline">1</font> || 1
|}
|}

== 与其他进制的比较 ==

[[整数]]的三进制表示法不如[[二进制]]那样冗长，但仍然比[[六进制]]或[[十进制]]要长。例如，十进制[[365]]（六进制1405）在二进制中的写法是101101101（9个数字），在三进制中的写法是111112（6个数字）。

{| class="wikitable"
|+ '''1到3<sup>3</sup>'''
|- align="center"
! 三进制
| <small>1</small> || <small>2</small> || <small>10</small> || <small>11</small> || <small>12</small> || <small>20</small> || <small>21</small> || <small>22</small> || <small>100</small> || <small>101</small> || <small>102</small> || <small>110</small> || <small>111</small> || <small>112</small> || <small>120</small> || <small>121</small> || <small>122</small> || <small>200</small> || <small>201</small> || <small>202</small> || <small>210</small> || <small>211</small> || <small>212</small> || <small>220</small> || <small>221</small> || <small>222</small> || <small>1000</small>
|- align="center"
! 二进制
| <small>1</small> || <small>10</small> || <small>11</small> || <small>100</small> || <small>101</small> || <small>110</small> || <small>111</small> || <small>1000</small> || <small>1001</small> || <small>1010</small> || <small>1011</small> || <small>1100</small> || <small>1101</small> || <small>1110</small> || <small>1111</small> || <small>10000</small> || <small>10001</small> || <small>10010</small> || <small>10011</small> || <small>10100</small> || <small>10101</small> || <small>10110</small> || <small>10111</small> || <small>11000</small> || <small>11001</small> || <small>11010</small> || <small>11011</small>
|- align="center"
! 六进制
| 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 10 || 11 || 12 || 13|| 14 || 15 || 20 || 21 || 22 || 23 || 24 || 25 || 30 || 31 || 32 || 33 || 34 || 35 || 40 || 41 || 42 || 43
|- align="center"
! 十进制
| 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9|| 10 || 11 || 12 || 13 || 14 || 15 || 16 || 17 || 18 || 19 || 20 || 21 || 22 || 23 || 24 || 25 || 26 || 27
|}

{| class="wikitable"
|+ '''3的幂'''
|- align="center"
! 三进制
| <small>1</small> || <small>10</small> || <small>100</small> || <small>1 000</small> || <small>10 000</small> || <small>100 000</small> || <small>1 000 000</small> || <small>10 000 000</small> || <small>100 000 000</small> || <small>1 000 000 000</small>
|- align="center"
! 二进制
| <small>1</small> || <small>11</small> || <small>1001</small> || <small>1 1011</small> || <small>101 0001</small> || <small>1111 0011</small> || <small>10 1101 1001</small> || <small>1000 1000 1011</small> || <small>1 1001 1010 0001</small> || <small>100 1100 1110 0011</small>
|- align="center"
! 六进制
| 1 || 3 || 13 || 43 || 213 || 1043 || 3213 || 14043 || 50213 || 231043
|- align="center"
! 十进制
| 1 || 3 || 9 || 27 || 81 || 243 || 729 || 2187 || 6561 || 19683
|- align="center"
!幂
| '''3<sup>0</sup>''' || '''3<sup>1</sup>''' || '''3<sup>2</sup>''' || '''3<sup>3</sup>''' || '''3<sup>4</sup>'''|| '''3<sup>5</sup>''' || '''3<sup>6</sup>''' || '''3<sup>7</sup>''' || '''3<sup>8</sup>''' || '''3<sup>9</sup>'''
|}

在三进制中表示三分之一是很方便的，不像在十进制中，需要用无限小数来表示。但是，[[二分之一]]、四分之一之类的分数在三进制中都是无穷小数，这是因为[[2]]不是3的[[因子]]。
{|
|-
! 小数
|-
|
{| class="wikitable"
|- align="center"
! 三进制
| <small>0.<font style="text-decoration: overline">1</font></small> || <small>'''0.1'''</small> || <small>0.<font style="text-decoration: overline">02</font></small> || <small>0.<font style="text-decoration: overline">0121</font></small> || <small>0.0<font style="text-decoration: overline">1</font></small> || <small>0.<font style="text-decoration: overline">010212</font></small> || <small>0.<font style="text-decoration: overline">01</font></small> || <small>'''0.01'''</small> || <small>0.<font style="text-decoration: overline">0022</font></small> || <small>0.<font style="text-decoration: overline">00211</font></small> || <small>0.0<font style="text-decoration: overline">02</font></small> || <small>0.<font style="text-decoration: overline">002</font></small>
|- align="center"
! 二进制
| <small>'''0.1'''</small> || <small>0.<font style="text-decoration: overline">01</font></small> || <small>'''0.01'''</small> || <small>0.<font style="text-decoration: overline">0011</font></small> || <small>0.0<font style="text-decoration: overline">01</font></small> || <small>0.<font style="text-decoration: overline">001</font></small> || <small>'''0.001'''</small> || <small>0.<font style="text-decoration: overline">000111</font></small> || <small>0.0<font style="text-decoration: overline">0011</font></small> || <small>0.<font style="text-decoration: overline">0001011101</font></small> || <small>0.00<font style="text-decoration: overline">01</font></small> || <small>0.<font style="text-decoration: overline">000100111011</font></small>
|- align="center"
! 六进制
| <small>'''0.3'''</small> || <small>'''0.2'''</small> || <small>'''0.13'''</small> || <small>0.<font style="text-decoration: overline">1</font></small> || <small>'''0.1'''</small> || <small>0.<font style="text-decoration: overline">05</font></small> || <small>'''0.043'''</small> || <small>'''0.04'''</small> || <small>0.0<font style="text-decoration: overline">3</font></small> || <small>0.<font style="text-decoration: overline">0.0313452421</font></small> || <small>'''0.03'''</small> || <small>0.<font style="text-decoration: overline">024340531215</font></small>
|- align="center"
! 十进制
| <small>'''0.5'''</small> || <small>0.<font style="text-decoration: overline">3</font></small> || <small>'''0.25'''</small> || <small>'''0.2'''</small> || <small>0.1<font style="text-decoration: overline">6</font></small> || <small>0.<font style="text-decoration: overline">142857</font></small> || <small>'''0.125'''</small> || <small>0.<font style="text-decoration: overline">1</font></small> || <small>'''0.1'''</small> || <small>0.<font style="text-decoration: overline">09</font></small> || <small>0.08<font style="text-decoration: overline">3</font></small> || <small>0.<font style="text-decoration: overline">076923</font></small>
|- align="center"
! 六进分数
| '''1/2''' || '''1/3''' || '''1/4''' || '''1/5''' || '''1/10''' || '''1/11'''|| '''1/12''' || '''1/13''' || '''1/14''' || '''1/15''' || '''1/20''' || '''1/21'''
|- align="center"
! 十进分数
| '''1/2''' || '''1/3''' || '''1/4''' || '''1/5''' || '''1/6''' || '''1/7'''|| '''1/8''' || '''1/9''' || '''1/10''' || '''1/11''' || '''1/12''' || '''1/13'''
|}
|-
|
{| class="wikitable"
|- align="center"
! 三进制
| <small>0.<font style="text-decoration: overline">1</font></small> || <small>'''0.2'''</small> || <small>0.<font style="text-decoration: overline">20</font></small> || <small>0.<font style="text-decoration: overline">2101</font></small> || <small>0.2<font style="text-decoration: overline">1</font></small> || <small>0.<font style="text-decoration: overline">212010</font></small> || <small>0.<font style="text-decoration: overline">21</font></small> || <small>'''0.22'''</small> || <small>0.<font style="text-decoration: overline">2200</font></small> || <small>0.<font style="text-decoration: overline">22011</font></small> || <small>0.2<font style="text-decoration: overline">20</font></small> || <small>0.<font style="text-decoration: overline">220</font></small>
|- align="center"
! 二进制
| <small>'''0.1'''</small> || <small>0.<font style="text-decoration: overline">10</font></small> || <small>'''0.11'''</small> || <small>0.<font style="text-decoration: overline">1100</font></small> || <small>0.1<font style="text-decoration: overline">10</font></small> || <small>0.<font style="text-decoration: overline">110</font></small> || <small>'''0.111'''</small> || <small>0.<font style="text-decoration: overline">111000</font></small> || <small>0.1<font style="text-decoration: overline">1100</font></small> || <small>0.<font style="text-decoration: overline">1110100010</font></small> || <small>0.11<font style="text-decoration: overline">10</font></small> || <small>0.<font style="text-decoration: overline">111011000100</font></small>
|- align="center"
! 六进制
| <small>'''0.3'''</small> || <small>'''0.4'''</small> || <small>'''0.43'''</small> || <small>0.<font style="text-decoration: overline">4</font></small> || <small>'''0.5'''</small> || <small>0.<font style="text-decoration: overline">50</font></small> || <small>'''0.513'''</small> || <small>'''0.52'''</small> || <small>0.5<font style="text-decoration: overline">2</font></small> || <small>0.<font style="text-decoration: overline">5242103134</font></small> || <small>'''0.53'''</small> || <small>0.<font style="text-decoration: overline">531215024340</font></small>
|- align="center"
! 十进制
| <small>'''0.5'''</small> || <small>0.<font style="text-decoration: overline">6</font></small> || <small>'''0.75'''</small> || <small>'''0.8'''</small> || <small>0.8<font style="text-decoration: overline">3</font></small> || <small>0.<font style="text-decoration: overline">857142</font></small> || <small>'''0.875'''</small> || <small>0.<font style="text-decoration: overline">8</font></small> || <small>'''0.9'''</small> || <small>0.<font style="text-decoration: overline">90</font></small> || <small>0.91<font style="text-decoration: overline">6</font></small> || <small>0.<font style="text-decoration: overline">923076</font></small>
|- align="center"
! 六进分数
| '''1/2''' || '''2/3''' || '''3/4''' || '''4/5''' || '''5/10''' || '''10/11'''|| '''11/12''' || '''12/13''' || '''13/14''' || '''14/15''' || '''15/20''' || '''20/21'''
|- align="center"
! 十进分数
| '''1/2''' || '''2/3''' || '''3/4''' || '''4/5''' || '''5/6''' || '''6/7'''|| '''7/8''' || '''8/9''' || '''9/10''' || '''10/11''' || '''11/12''' || '''12/13'''
|}
|}
<br />
<br />

== 其他进制到三进制的转换 ==
整数部分一般使用连除法。用3除待转换数或上一步的商，求得余数，直至最后的商为零。将各次余数从后往前排列，即为目标进制下的整数部分。

小数部分一般使用连乘法。用3乘待转换数或上一步的积，求得整数部分，将整数部分从前往后排列，即为目标进制下的小数部分。

正负数需要分别处理。
=== 十进制到普通三进制 ===
例如，2356
     2356÷3=785余1 ↑
      785÷3=261余2 |
      261÷3=87 余0 |
       87÷3=29 余0 |
       29÷3=9  余2 |
        9÷3=3  余0 |
        3÷3=1  余0 |
        1÷3=0  余1 |
      2356的三进制为10020021

例如，1.4
              1.4        向下圆整为1|，余0.4♦
        0.4×3=1.2        向下圆整为1|，余0.2
        0.2×3=0.6        向下圆整为0|，余0.6
        0.6×3=1.8        向下圆整为1|，余0.8
        0.8×3=2.4        向下圆整为2↓，余0.4 进入循环
        1.4的三进制为1.<font style="text-decoration: overline">1012</font>

例如，1/5
                1/5        向下圆整为0|，余1/5♦
        1/5×3=  3/5        向下圆整为0|，余3/5
        3/5×3=1 4/5        向下圆整为1|，余4/5
        4/5×3=2 2/5        向下圆整为2|，余2/5
        2/5×3=1 1/5        向下圆整为1↓，余1/5，进入循环
        1/5的三进制为0.<font style="text-decoration: overline">0121</font>

也可以用基本公式来计算。
              25.4<sub>10</sub>=2*101<sup>1</sup>+12*101<sup>0</sup>+11*101<sup>-1</sup>
                   =2*101+12+11/101
                   =202+12+0.<font style="text-decoration: overline">1012</font>
                   =221.<font style="text-decoration: overline">1012</font>

== 三进制计算机 ==
{{main|三进制计算机}}
==={{lang|ru|Сетунь}}===
早在上世纪50、60年代，一批[[莫斯科国立大学]]的研究员就设计了人类历史上第一批三进制计算机“{{lang|ru|Сетунь}}”和“{{lang|ru|Сетунь 70}}”（“{{lang|ru|Сетунь}}”是莫大附近一条流入莫斯科河的小河的名字）。

“{{lang|ru|Сетунь}}”是一台带有快速乘法器的时序计算机。小型的铁氧体随机存储器（容量为3页，即54字）充当缓存，在主磁鼓存储器中交换页面。这台计算机支持24条指令，其中3条为预留指令，目前不用。“{{lang|ru|Сетунь}}”总共生产了50台（包括样机）。从加里宁格勒到雅库茨克，从阿什哈巴德到新西伯利亚，全苏都能看到“{{lang|ru|Сетунь}}”的身影。各地都对“{{lang|ru|Сетунь}}”的反应不错，认为它编程简单（不需要使用汇编语言），适用于工程计算、工业控制、计算机教学等各个领域。

“{{lang|ru|Сетунь 70}}”是一台双堆栈计算机。其回叫堆栈用来调用子程序。这一简单的改进启发了荷兰计算机科学家艾兹格·W·迪科斯彻，为他日后提出“结构化程序设计”思想打下了基础。“{{lang|ru|Сетунь 70}}”成了莫斯科国立大学三进制计算机的绝唱。由于得不到上级的支持，这个科研项目不得不无限期停顿下来。

===TERNAC===
TERNAC 是一部三进制计算机，由纽约州立大学在1973年实现。TERNAC提供整数和浮点数，整数的长度是24个三进制位。浮点数采用科学计数法表示，尾数部分长42个三进制位，指数部分长6个三进制位。
Ternac计算机起初是验证在二进制计算机上实施非二进制结构的可行性，并确认在存储容量和时间上花费。作为一个可行性测试，这个尝试是成功的。第一个版本的实现证明，其速度和价格和二进制计算机相似。

==參看==
* [[三值邏輯]]
* [[三進位電腦]]
* [[太玄]]
* [[量子三位元]]

==参考资料==
{{reflist}}
=== 其他资料 ===
* [http://www.washingtonart.net/whealton/ternary.html 三进制算术]{{Wayback|url=http://www.washingtonart.net/whealton/ternary.html |date=20110514130533 }}
* [http://www.mathsisfun.com/numbers/convert-base.php?to=ternary 三进制转换]{{Wayback|url=http://www.mathsisfun.com/numbers/convert-base.php?to=ternary |date=20081201201657 }}
{{pns}}

[[Category:进位制| ]]
[[Category:算術]]
[[Category:三進位電腦]]