查看“︁三角矩阵”︁的源代码

{{Refimprove |time=2019-12-16}}
{{NoteTA
|G1 = Math
}}
{{线性代数}}
在[[线性代数]]中，'''三角矩阵'''（{{lang-en|triangular matrix}}）是[[矩阵|方形矩阵]]的一种，因其非零系数的排列呈三角形状而得名。三角矩阵分'''上三角矩阵'''和'''下三角矩阵'''两种。上三角矩阵的对角线左下方的系数全部为零，下三角矩阵的对角线右上方的系数全部为零。

三角矩阵可以看做是一般方阵的一种简化情形。比如，由于带三角矩阵的矩阵方程容易求解，在解多元线性方程组时，总是将其系数矩阵通过初等变换化为三角矩阵来求解；又如三角矩阵的行列式就是其对角线上元素的乘积，很容易计算。有鉴于此，在[[数值分析]]等分支中三角矩阵十分重要。一个可逆矩阵''A''可以通过[[LU分解]]变成一个下三角矩阵''L''与一个上三角矩阵''U''的乘积。

== 描述 ==
一个如下形状的[[矩阵]]：
:<math> \mathbf{L}=
\begin{bmatrix}
l_{1,1} &         & \cdots &           & 0     \\
l_{2,1} & l_{2,2} &        &    (0)    &       \\
l_{3,1} & l_{3,2} & \ddots &           &\vdots \\
\vdots  & \vdots  & \ddots & \ddots    &       \\
l_{n,1} & l_{n,2} & \ldots & l_{n,n-1} & l_{n,n}
\end{bmatrix}
</math>

被称为'''下三角矩阵'''；同样的，一个如下形状的矩阵：
:<math> \mathbf{U} =
\begin{bmatrix}
u_{1,1} & u_{1,2} & u_{1,3} & \ldots & u_{1,n}  \\
        & u_{2,2} & u_{2,3} & \ldots & u_{2,n}  \\
\vdots  &         & \ddots  & \ddots & \vdots   \\
        &   (0)   &         & \ddots & u_{n-1,n}\\
  0     &         & \cdots  &        & u_{n,n}
\end{bmatrix}
</math>

被称为'''上三角矩阵'''。

上（下）三角矩阵乘以系数后也是上（下）三角矩阵；上（下）三角矩阵间的加减法和[[矩阵乘法|乘法]]运算的结果仍是上（下）三角矩阵；上（下）三角矩阵的逆也仍然是上（下）三角矩阵。这些事实说明：所有上（下）三角矩阵的集合以及相应的运算构成一个方形矩阵集合的一个[[子代数]]。然而要注意的是上三角矩阵与下三角矩阵的乘积一般并不是三角矩阵。

== 特殊的三角矩阵 ==
=== 严格三角矩阵 ===
一个上（下）三角矩阵是'''严格'''上（下）三角矩阵[[当且仅当]]其[[矩阵|主对角线]]上的系数都为零。所有的是严格上（下）三角矩阵也形成一个子代数。所有的严格三角矩阵都是[[幂零矩阵]]。

=== 单位三角矩阵 ===
一个上（下）三角矩阵是'''单位'''上（下）三角矩阵[[当且仅当]]其[[矩阵|主对角线]]上的系数都为1。单位三角矩阵都是[[幺幂矩阵]]。

=== 高斯矩阵 ===

'''高斯矩阵是'''是单位三角矩阵中的一种，除了一列的系数以外，其他系数都是零。这类矩阵是[[高斯消去法]]中基本操作的矩阵体现，因此也叫做'''基元矩阵'''或'''高斯变换矩阵'''。一个下三角的高斯矩阵为：
:<math> \mathbf{L}_{i} =
\begin{bmatrix}
     1   &            &        &    \dots    &        &         &     & 0 \\
     0 & \ddots &        &           &        &         &     &   \\
     0 & \ddots &      1 &           &        &         &     &   \\
     0 & \ddots &      0 &         1 &        &         &     & \vdots \\
       &        &      0 & l_{i+1,i} &      1 &         &     & \vdots \\
\vdots &        &      0 & l_{i+2,i} &      0 &  \ddots &     &   \\
       &        & \vdots &    \vdots & \vdots &  \ddots &   1 &   \\
     0 &  \dots &      0 &   l_{n,i} &      0 &   \dots &   0 & 1 \\
\end{bmatrix} 
</math>
高斯矩阵的逆仍然是高斯矩阵。实际上，
:<math> \mathbf{L}_{i}^{-1} =
\begin{bmatrix}
     1 &        &        &    \dots        &        &        &        & 0 \\
     0 & \ddots &        &            &        &         &     &   \\
     0 & \ddots &      1 &            &        &         &     &   \\
     0 & \ddots &      0 &          1 &        &         &     & \vdots \\
       &        &      0 & -l_{i+1,i} &      1 &         &     & \vdots \\
\vdots &        &      0 & -l_{i+2,i} &      0 &  \ddots &     &   \\
       &        & \vdots &     \vdots & \vdots &  \ddots &   1 &   \\
     0 &  \dots &      0 &   -l_{n,i} &      0 &   \dots &   0 & 1 \\
\end{bmatrix} 
</math> ， 
即是说一个高斯矩阵的逆是将其非对角线上元素加上负号后得到的矩阵。

== 性质 ==
一个同时是上三角矩阵和下三角矩阵的矩阵必然是[[对角矩阵]]。[[单位矩阵]]是唯一同时为单位上三角矩阵和单位下三角矩阵的矩阵。

分别计算乘积''A''<sup>*</sup>''A'' 与 ''AA''<sup>*</sup>的系数并进行比较后就可以发现：一个同时为三角矩阵和[[正规矩阵]]的矩阵也必然是对角矩阵（因为正规矩阵满足''A''<sup>*</sup>''A''=''AA''<sup>*</sup>，其中 ''A''<sup>*</sup>为''A''的[[共轭转置]]）。 

上三角矩阵的[[转置矩阵]]是下三角矩阵，反之亦然。

三角矩阵的[[行列式]]等于其对角线上所有元素之乘积。对于三角矩阵''A''，其[[特征多项式]]<math>x I-A</math>也是三角矩阵。三角矩阵的对角线元素的集合实际上是它的[[特征值]]的集合（其重数为在特征多项式中的重数）<ref name="axler">{{cite book |author=[[谢尔顿·阿克斯勒|Sheldon Axler]] |title=''Linear Algebra Done Right'' |url=https://archive.org/details/linearalgebradon0000axle_h2m2 |publisher=Springer-Verlag |year=1996 |ISBN=0-387-98258-2 |pages=[https://archive.org/details/linearalgebradon0000axle_h2m2/page/86 86]-87, 169 |language=en}}</ref>。

=== 矩阵的三角化 ===
{{main|舒尔分解}}
每个复系数矩阵都与一个三角矩阵[[相似矩阵|相似]]<ref name="axler"/>。实际上，如果矩阵''A''的特征值都包含于其系数[[体 (数学)|域]]中（比如一个[[代数封闭|代数闭域]]），那么''A''相似于一个三角矩阵。这个性质可以用归纳法证明。一个更进一步的结论是由[[若尔当标准形]]定理得出，说明了''A''实际上相似于一个十分特别的上三角矩阵（若尔当形）<ref name="axler"/><ref name="herstein">{{cite book |author=I. N. Herstein |title=''Topics in Algebra'' |url=https://archive.org/details/topicsalgebrande00hers_059 |publisher=John Wiley and Sons |edition=2 |ISBN=0-471-01090-1 |pages=[https://archive.org/details/topicsalgebrande00hers_059/page/n294 285]-290 |language=en |year=1975}}</ref>。

在复系数的情况下，每个方阵''A''都有一个[[舒尔分解]]，即''A''酉相似（即在[[酉矩阵]]的基变换下）于一个上三角矩阵。

求三角矩阵的逆比求一般矩阵的逆要简单很多，可以直接逐个元素算出，而不必用[[高斯消去法]]。

一般用''L''来做下三角矩阵的记号，因为英文中的“下”为“Lower”，首字母为''L''。同样的，上三角矩阵的记号通常是''U''('''U'''pper)。

== 三角矩阵代数 ==

上三角性质在许多操作下保持不变：
* 两个上三角阵之和仍为上三角阵；
* 两个上三角阵之积仍为上三角阵；
* 上三角阵的逆矩阵仍为上三角阵，如果它存在的话；
* 上三角阵与常量之积仍为上三角阵。

这些性质意味着上三角矩阵构成了关于给定大小的方阵的[[结合代数]]的一个[[子代数]]。

可逆上（下）三角矩阵的集合构成了一个[[群]]。它是[[一般线性群]]的一个[[子群]]。2×2的上（下）三角矩阵构成的群[[同构]]与系数域的[[加法群]]。当系数域是复数时，就成为了抛物线型[[莫比乌斯变换]]。3×3的上三角矩阵构成了[[海森堡群]]。

上三角阵代数在[[泛函分析]]中有一个自然的推广，即无穷维[[希尔伯特空间]]上的[[套代数]]。

== 向前与向后替换 ==
矩阵方程<math>\mathbf{L}\mathbf{x} = \mathbf{b}</math>和<math>\mathbf{U} \mathbf{x} = \mathbf{b}</math>有着非常简洁的解法<ref>这里要假设'''L''' 和 '''U'''都可逆（对角线元素不为零），否则方程一般无解。</ref> 。对于包含下三角矩阵的方程<math>\mathbf{L}\mathbf{x} = \mathbf{b}</math>，可以使用所谓的“'''向后替换'''法”，即是在解出了第一个未知数<math>x_1</math>后，将它代入下一个方程（向后），解出下一个未知数<math>x_2</math>，依此类推，直到解出<math>x_n</math>。对于方程<math>\mathbf{U} \mathbf{x} = \mathbf{b}</math>，则使用“'''向前替换'''法”，即将上面的方法倒过来，从后向前解出未知数。

注意这里不需要求矩阵的逆，因此[[复杂度]]大大下降。

=== 向后替换 ===
矩阵方程'''L'''''x'' = ''b''可以清楚地写成：
:<math>
\begin{matrix}
l_{1,1} x_1 &   &             &            &             & = &    b_1 \\
l_{2,1} x_1 & + & l_{2,2} x_2 &            &             & = &    b_2 \\
     \vdots &   &      \vdots &     \ddots &             &   & \vdots \\
l_{m,1} x_1 & + & l_{m,2} x_2 & + \dotsb + & l_{m,m} x_m & = &   b_m  \\
\end{matrix}
</math>

首先解第一行：<math>l_{1,1} x_1 = b_1</math>，得到<math>x_1</math>的值。将其带入第二行的方程，就可解出<math>x_2</math>。已知<math>x_1</math>、<math>x_2</math>后代入第三行就可求出<math>x_3</math>……依此便可解出全部未知数。

将表达式写出就是
:<math> x_1 = \frac{b_1}{l_{1,1}}, </math>
:<math> x_2 = \frac{b_2 - l_{2,1} x_1}{l_{2,2}}, </math>
::<math> \vdots </math>
:<math> x_m = \frac{b_m - \sum_{i=1}^{m-1} l_{m,i}x_i}{l_{m,m}} </math>。

用向前替换法解方程'''L'''''x'' = ''b''道理相同，只不过要从后解起。

=== 应用 ===
在金融方面，向后替换法被运用在[[步步为营法 (金融)|步步为营法]]中，用来构造[[收益曲线]]。

== 参见 ==
* [[高斯消去法]]
* [[QR分解]]
* [[LU分解]]
* [[海森堡矩阵]]
* [[不变子空间]]

== 注释与参考 ==
{{reflist}}

* {{cite book |author=许以超 |title=线性代数与矩阵论 |publisher=高等教育出版社 |edition=2 |isbn= |language=zh-cn |year=}}

{{DEFAULTSORT:triangular matrix}}
[[Category:数值线性代数]]
[[Category:矩阵]]