查看“︁三角形分布”︁的源代码

{{NoteTA |G1=Math}}

{{Infobox 機率分佈 |
  name       =三角形分布|
  type       =密度|
  pdf_image  =[[File:Triangular_distribution_PMF.png|325px|Plot of the Triangular PMF]]|
  cdf_image  =[[File:Triangular_distribution_CMF.png|325px|Plot of the Triangular CMF]]|
  parameters =<math>a:~a\in (-\infty,\infty)</math><br><math>b:~b>a\,</math><br><math>c:~a\le c\le b\,</math>|
  support    =<math>a \le x \le b \!</math>|
  pdf        =<math>
                \left\{
                  \begin{matrix}
                    \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} & \mathrm{for\ } a \le x \le c \\ & \\
                    \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)} & \mathrm{for\ } c < x \le b 
                  \end{matrix}
                \right.
              </math>|
  cdf        =<math>
                \left\{
                  \begin{matrix}
                    \frac{(x-a)^2}{(b-a)(c-a)} & \mathrm{for\ } a \le x \le c \\ & \\
                    1-\frac{(b-x)^2}{(b-a)(b-c)} & \mathrm{for\ } c < x \le b 
                  \end{matrix}
                \right.
              </math>|
  mean       =<math>\frac{a+b+c}{3}</math>|
  median     =<math>
                \left\{
                  \begin{matrix}
                    a+\frac{\sqrt{(b-a)(c-a)}}{\sqrt{2}} & \mathrm{for\ } c\!\ge\!\frac{b\!-\!a}{2}\\ & \\
                    b-\frac{\sqrt{(b-a)(b-c)}}{\sqrt{2}} & \mathrm{for\ } c\!\le\!\frac{b\!-\!a}{2} 
                  \end{matrix}
                \right.
              </math>|
  mode       =<math>c\,</math>|
  variance   =<math>\frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{18}</math>|
  skewness   =<math>
              \frac{\sqrt 2 (a\!+\!b\!-\!2c)(2a\!-\!b\!-\!c)(a\!-\!2b\!+\!c)}{5(a^2\!+\!b^2\!+\!c^2\!-\!ab\!-\!ac\!-\!bc)^\frac{3}{2}}
              </math>|
  kurtosis   =<math>\frac{12}{5}</math>|
  entropy    =<math>\frac{1}{2}+\ln\left(\frac{b-a}{2}\right)</math>|
  mgf        =<math>2\frac{(b\!-\!c)e^{at}\!-\!(b\!-\!a)e^{ct}\!+\!(c\!-\!a)e^{bt}}
{(b-a)(c-a)(b-c)t^2}</math>|
  char       =<math>-2\frac{(b\!-\!c)e^{iat}\!-\!(b\!-\!a)e^{ict}\!+\!(c\!-\!a)e^{ibt}}
{(b-a)(c-a)(b-c)t^2}</math>|
}}

在[[概率论]]与[[统计学]]中，'''三角形分布'''是低限为 ''a''、众数为 ''c''、上限为 ''b'' 的连续[[概率分布]]。

<math>f(x|a,b,c)=\left\{
                      \begin{matrix}
                          \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} & \mathrm{for\ } a \le x \le c \\ & \\
                          \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)} & \mathrm{for\ } c < x \le b
                      \end{matrix}
                  \right.
              </math>

== 特例 ==

=== 已知两点 ===
当 ''c''=''a'' 或者 ''c''=''b''，分布就可以进行简化。例如，如果 ''a''=0、''b''=1 并且 ''c''=1，那么上面的方程简化为：
:<math> \left.\begin{matrix}f(x) &=& 2x \\ \\                                                       F(x) &=& x^2 \end{matrix}\right\} \mathrm{for\ } 0 \le x \le 1 </math>

:<math> \begin{matrix}
  E(X) &=& \frac{2}{3} \\ & & \\
  \mathrm{Var}(X) &=& \frac{1}{18}
\end{matrix}
</math>

=== 两个标准一致变量的分布 ===
''a''=0、''b''=1 且 ''c''=0.5 的分布为 <math>X = \frac{X_1+X_2}{2} </math>，其中 <math>X_1, X_2 </math> 是两个[[連續型均勻分佈]]的[[随机变量]]。

:<math>
  f(x)=\left\{\begin{matrix}
  4x   & \mathrm{for\ }0 \le x < \frac{1}{2}   \\ \\
  4-4x & \mathrm{for\ }\frac{1}{2} \le x \le 1
  \end{matrix}\right.
</math>

:<math>
  F(x)=\left\{\begin{matrix}
  2x^2       & \mathrm{for\ }0 \le x < \frac{1}{2}     \\ \\
  1-2(1-x)^2 & \mathrm{for\ }\frac{1}{2} \le x \le 1
  \end{matrix}\right.
</math>

:<math> \begin{matrix}
  E(X) &=& \frac{1}{2} \\ \\
  \mathrm{Var}(X) &=& \frac{1}{24}
\end{matrix}
</math>

== 三角形分布的应用 ==
三角形分布通常用于表述只有有限采样数据的人口信息，尤其是已知变量之间的关系但是由于数据的收集成本太高而缺少采样数据的场合。
这通常是根据已知最小值与最大值从而推算合理的常见值。

=== 商务模拟 ===
三角形分布经常用于商务[[决策]]，尤其是[[计算机模拟]]领域。通常，如果对结果的[[概率分布]]所知信息很少，例如仅仅知道最大值与最小值，那么可以使用[[平均分布]]模型。但是，如果已经知道了最可能出现的结果，那么就可以用三角形分布进行模拟。

=== 项目管理 ===
三角形分布以及[[Beta分布]]在[[项目管理]]中大量地用作[[项目评估与审核技术]]以及[[关键途径]]的输入信息，以建立在最大值与最小值之间事件发生的概率模型。

== 外部链接与参考文献 ==
* [http://mathworld.wolfram.com/TriangularDistribution.html 三角形分布]{{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/TriangularDistribution.html |date=20070117070318 }}，mathworld.wolfram.com
* [https://web.archive.org/web/20060923225843/http://www.decisionsciences.org/DecisionLine/Vol31/31_3/31_3clas.pdf 三角形分布]，decisionsciences.org
* [https://web.archive.org/web/20060925105345/http://www.brighton-webs.co.uk/distributions/triangular.asp 三角形分布]，brighton-webs.co.uk

{{概率分布类型列表|三角形分布}}

[[Category:连续分布]]