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在[[数学]]中，'''三角多项式'''是一类基于[[三角函数]]的[[函数]]的总称。三角多项式是可以表示成有限个[[正弦函数]]sin(''nx'') 和[[余弦函数]]cos(''nx'') 的和的函数，其中的''x'' 是变量，而''n'' 是一个[[自然数]]。三角多项式中每一项的[[系数]]可以是[[实数]]或者[[复数 (数学)|复数]]。如果系数是复数的话，那么这个三角多项式是一个[[傅里叶级数]]。

三角多项式在许多数学分支，如[[数学分析]]和[[数值分析]]中都有应用，例如在[[傅里叶分析]]中，三角多项式被用于傅里叶级数的表示，在[[三角換元法|三角插值法]]中，三角多项式被用于逼近[[周期函数|周期性函数]]。

三角多项式一般可以写成

==定义==
一个函数'''T'''如果能够写成：
:<math>T(x) = a_0 + \sum_{n=1}^N a_n \cos (nx) + \mathrm{i}\sum_{n=1}^N b_n \sin(nx) \qquad (x \in \mathbf{R})</math>

的形式，其中对于所有的<math>0 \leq n \leq N</math>，''a''<sub>''n''</sub> 和 ''b''<sub>''n''</sub>都是复数，那么就称其为'''N'''阶复三角多项式<ref name="Rudin">{{Citation | last1=Rudin | first1=Walter | title=Real and complex analysis | publisher=[[McGraw-Hill]] | location=New York | edition=3rd | isbn=978-0-07-054234-1 | id={{MathSciNet | id = 924157}} | year=1987}}</ref><ref name="Powell">{{Citation | last1=Powell | first1=Michael J. D. | title=Approximation Theory and Methods | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=978-0-521-29514-7 | year=1981}}</ref>。运用欧拉公式，这个函数可以写为：
:<math>T(x) = \sum_{n=-N}^N c_n \mathrm{e}^{\mathrm{i}nx} \qquad (x \in \mathbf{R}).</math>

同样地，如果对于所有的<math>0 \leq n \leq N</math>，''a''<sub>''n''</sub> 和''b''<sub>''n''</sub>都是实数的话，那么函数'''t'''
:<math>t(x) = a_0 + \sum_{n=1}^N a_n \cos (nx) + \sum_{n=1}^N b_n \sin(nx) \qquad (x \in \mathbf{R})</math>

就被称'''N'''阶实三角多项式<ref name="Powell"/>。

==性质==
<math>\scriptstyle \cos n\theta \,</math>是关于<math>\scriptstyle\cos\theta \,</math>的''n'' 次多项式。
:<math>T_n(\cos(\theta))=\cos(n\theta) \,</math>
实际上，这种多项式称为第一类[[切比雪夫多项式]]。同样地，<math>\scriptstyle \sin n\theta \,</math>也是关于<math>\scriptstyle \cos\theta \,</math>和<math>\scriptstyle \sin \theta \,</math>的''n'' 次多项式，称为第二类切比雪夫多项式。
:<math>\sin (\theta ) U_n(\cos(\theta))=\sin((n+1) \theta) \,</math>

因此，一个三角多项式实际上也可以认为是关于三角函数<math>\scriptstyle \cos\theta \,</math>和<math>\scriptstyle \sin \theta \,</math>的多项式。

三角多项式都是周期为<math>\scriptstyle 2\pi \,</math>的周期函数。同时，任何连续的周期函数都可以借助于三角多项逼近到任意接近的程度。

==参考来源==
<references/>

{{三角函數}}

[[Category:逼近理论]]
[[Category:傅里叶分析]]
[[Category:多项式]]
[[Category:三角学]]