查看“︁三角函数线”︁的源代码

三角函数线是[[正弦]]线、[[余弦]]线和[[正切]]线的总称，是[[三角函数]]的[[几何]]表示。
[[File:Unit-circle sin(MP) cos(OM) tan(AT) cot(HK) exsec(PT) excsc(PK) versin(MA) cvs(HG).svg|thumb|三角函数线，角{{math|''α''}}的所有三角函数在几何上可以依据以O点为圆心的单位圆来构造。]]
由于<math>\sin\alpha=\frac{y}{r}</math>，<math>\cos\alpha=\frac{x}{r}</math>与点{{math|''P''（''x'', ''y''）}}在终边上的位置无关，为简单起见，选取角{{math|''α''}}的终边 与[[单位圆]]的交点为{{math|''P''（''x'', ''y''）}}，则{{math|1=sin ''α'' = ''y'', cos ''α'' = ''x''}}。

过点{{math|''P''}}作{{math|''x''}}轴的垂线，垂足为{{math|''M''}}，显然，线段{{math|''OM''}}的长度为 {{math|{{!}}''x''{{!}}}}，为了去掉[[绝对值]]符号，我们引入有向线段的概念<ref>{{cite book|title=《数学 必修4》|publisher=江苏教育出版社|pages=12~13|ISBN=978-7-5343-6225-5|language=zh-hans}}</ref>。

==有向线段==
规定了方向（起点和终点）的线段称为'''有向线段'''（与[[向量]]有区别），类似地可以把规定了正方向的直线称为有向直线。若有向线段{{math|''AB''}}在有向直线{{math|''l''}}上或与有向直线{{math|''l''}}平行，根据有向线段{{math|''AB''}}与有向直线{{math|''l''}}的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫做'''有向线段的数量'''，记为{{math|''AB''}}。

==正弦线和余弦线==

引入有向线段的概念后，如果{{math|''x'' > 0}}，如图，有向线段{{math|''OM''}}与{{math|''x''}}轴同向，其数量为{{math|''x''}}，如果{{math|''x'' < 0}}，有向线段{{math|''OM''}}与{{math|''x''}}轴反向，其数量也为{{math|''x''}}，故总有{{math|1=''OM'' = ''x''}}。同理可知{{math|1=''MP'' = ''y''}}

所以有，{{math|1=sin ''α'' = ''MP'', cos ''α'' = ''OM''}}

即有向线段{{math|''MP''}}、{{math|''OM''}}的数量分别等于{{math|''α''}}的正弦、{{math|''α''}}的余弦。因此，我们把有向线段{{math|''MP''}}，{{math|''OM''}}分别叫作角{{math|''α''}}的'''正弦线'''、'''余弦线'''。

==正切线==
当角{{math|''α''}}的终边在{{math|''y''}}轴的右侧时（如左图），在角{{math|''α''}}的终边上取点{{math|''T''（1, ''y&#8203;&apos;''）}}，则<math>\tan\alpha=\frac{y'}{1}=y'=AT</math>（{{math|''A''}}为单位圆与{{math|''x''}}轴正半轴的交点）

当角{{math|''α''}}终边在{{math|''y''}}轴左侧时（如右图），在角{{math|''α''}}的终边的反向延长线上取点{{math|''T''（1, ''y&#8203;&apos;''）}}由于它关于原点的对称点{{math|''Q''（−1, −''y&#8203;&apos;''）}}在角{{math|''α''}}的终边上，故有<math>\tan\alpha=\frac{-y'}{-1}=y'=AT</math>

即总有{{math|1=tan ''α'' = ''AT''}}

因此，我们把有向线段{{math|''AT''}}叫做角{{math|''α''}}的正切线
:[[File:Tangent line right.svg|200px|終邊在y軸右側的正切線]][[File:Tangent line left.svg|200px|終邊在y軸左側的正切線]]

==参考资料==
{{reflist}}

{{三角函數}}

[[Category:三角学]]
[[Category:三角函数]]