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'''三线性插值'''是在三维离散采样数据的[[张量积]]网格上进行[[线性插值]]的方法。这个张量积网格可能在每一[[维度]]上都有任意不重叠的网格点，但并不是三角化的[[有限元分析]]网格。这种方法通过网格上数据点在局部的矩形[[棱柱]]上线性地近似计算点 <math>(x, y, z)</math> 的值。

三线性插值经常用于[[数值分析]]、[[数据分析]]以及[[计算机图形学]]等领域。

== 特性以及与[[线性插值]]和[[双线性插值]]的关系 ==

*三线性插值在一次 <math>n = 1</math> 三维 <math>D = 3</math>（双线性插值的维数为：<math>D = 2</math>，线性插值：<math>D = 1</math>）的参数空间中进行运算，这样就需要 <math>(1 + n)^D = 8</math> 个与所需插值点相邻的数据点。
* 三线性插值等同于三维张量的一阶[[B样条]]插值。
* 三线性插值运算是三个线性插值运算的张量积。

== 例子 ==

在一个步距为 1 的周期性立方网格上，取

:<math>x_d, y_d, z_d</math> 

为待计算点距离小于

:<math>x, y, z</math>, 

的最大整数的差值，即，

:<math>x_d = x - \lfloor x \rfloor</math>

:<math>y_d = y - \lfloor y \rfloor</math>

:<math>z_d = z - \lfloor z \rfloor</math>

:<math>x_d</math>,:<math>y_d</math>,:<math>z_d</math>是单位化后的值，所以其范围是[0,1]。
本句话参考http://paulbourke.net/miscellaneous/interpolation/{{Wayback|url=http://paulbourke.net/miscellaneous/interpolation/ |date=20120826052441 }}

首先沿着 <math>z</math> 轴插值，得到：

:<math>i_1 = v[\lfloor x \rfloor,\lfloor y \rfloor, \lfloor z \rfloor] \times (1 - z_d) + v[\lfloor x \rfloor, \lfloor y \rfloor, \lceil z \rceil] \times z_d</math>

:<math>i_2 = v[\lfloor x \rfloor,\lceil y \rceil, \lfloor z \rfloor] \times (1 - z_d) + v[\lfloor x \rfloor, \lceil y \rceil, \lceil z \rceil] \times z_d</math>

:<math>j_1 = v[\lceil x \rceil,\lfloor y \rfloor, \lfloor z \rfloor] \times (1 - z_d) + v[\lceil x \rceil, \lfloor y \rfloor, \lceil z \rceil] \times z_d</math>

:<math>j_2 = v[\lceil x \rceil,\lceil y \rceil, \lfloor z \rfloor] \times (1 - z_d) + v[\lceil x \rceil, \lceil y \rceil, \lceil z \rceil] \times z_d.</math>

然后，沿着 <math>y</math> 轴插值，得到：

:<math>w_1 = i_1(1 - y_d) + i_2y_d</math>

:<math>w_2 = j_1(1 - y_d) + j_2y_d</math>

最后，沿着 <math>x</math> 轴插值，得到：

:<math>IV = w_1(1 - x_d) + w_2x_d .</math>

这样就得到该点的预测值。

三线性插值的结果与插值计算的顺序没有关系，也就是说，按照另外一种维数顺序进行插值，例如沿着 <math>x</math>、 <math>y</math>、<math>z</math> 顺序插值将会得到同样的结果。这也与张量积的[[交换律]]完全一致。

== 参见 ==
* [[插值]]
* [[线性插值]]
* [[双立方插值]]

== 外部链接 ==
*[http://www.grc.nasa.gov/WWW/winddocs/utilities/b4wind_guide/trilinear.html 伪代码]{{Wayback|url=http://www.grc.nasa.gov/WWW/winddocs/utilities/b4wind_guide/trilinear.html |date=20061010183404 }}
*[https://web.archive.org/web/20060914022959/http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/other/trilinear/ 形象化的例子]

[[Category:插值论]]