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[[平面几何]]中，一点关于给定[[三角形]]的'''三线坐标'''描述了它到三角形三条边的相对[[距离]]。三线坐标是[[齐次坐标]]的一个例子，经常简称为'''三线'''。

== 例子 ==
[[内心]]有三线1:1:1，这就是说，从三角形''ABC''的内心到边''BC''、''CA''、''AB''的有向距离和实际距离[[有序组|有序]]三元组（''r'', ''r'', ''r''）成比例，这里''r''是三角形''ABC''内切圆的半径。注意到记号''x'':''y'':''z''用比例[[冒号]]区分三线和实际有向距离。实际距离有序三元组（''kx'', ''ky'', ''kz''），能从比例''x'' : ''y'' : ''z''得到，利用[[面积]]关系不难算得

: <math>k = \frac{2\sigma}{ax + by + cz},</math>

这里''a'', ''b'', ''c''分别是边长''BC''、''CA''、''AB''，σ = ''ABC''的面积。（“逗号记法”应该避免使用。因为记号（''x'', ''y'', ''z''）意味着是一个有序三元组，不允许（''x'', ''y'', ''z''） =（2''x'', 2''y'', 2''z''）之类运算；然而“比号记法”允许''x'' : ''y'' : ''z'' = 2''x'' : 2''y'' : 2''z''。）

设''A''、''B''和''C''不仅表示三角形的[[頂點 (幾何)|顶点]]，也是在相应[[頂點 (幾何)|顶点]]的角。一些熟知点的三线如下：

[[File:Trilinear coordinates.svg|right|300px]]

:* ''A'' = 1 : 0 : 0
:* ''B'' = 0 : 1 : 0
:* ''C'' = 0 : 0 : 1
:* [[内心]] = 1 : 1 : 1
:* ''A''-[[旁心]] = −1 : 1 : 1
:* ''B''-旁心 = 1 : −1 : 1
:* ''C''-旁心 = 1 : 1 : −1 
:* [[外心]] = cos ''A'' : cos ''B'' : cos ''C''
:* [[垂心]] = sec ''A'' : sec ''B'' : sec ''C''
:* [[九点圆圆心]] = cos（''B'' − ''C''）: cos（''C'' − ''A''）: cos（''A'' − ''B''）
:* [[重心]] = ''bc'' : ''ca'' : ''ab'' = 1/''a'' : 1/''b'' : 1/''c'' = csc ''A'' : csc ''B'' : csc ''C''
:* [[类似重心]] = ''a'' : ''b'' : ''c'' = sin ''A'' : sin ''B'' : sin ''C''

注意到，内心一般不是[[重心]]，重心有[[重心坐标]]1:1:1（它们和实际有向面积''BGC''、''CGA''、''AGB''成比例，这里G = 重心）。

== 公式 ==

利用三线坐标可将许多代数方法运用于三角形几何。比如，三点

:''P = p'' : ''q'' : ''r''
:''U = u'' : ''v'' : ''w''
:''X = x'' : ''y'' : ''z'' 

是[[共线点|共线]]的，[[当且仅当]][[行列式]]：

:<math> D = \begin{bmatrix}p&q&r\\
u&v&w\\x&y&z\end{bmatrix}</math>

等于0。这性质的对偶是三条直线

:''pα + qβ + rγ = 0''
:''uα + vβ + wγ = 0''
:''xα + yβ + zγ = 0''

[[共点直线|交于一点]]（若[[无穷远点]]，即[[平行]]）当且仅当''D = 0''。

另外可算得三角形''PUX''的面积= ''KD''，这里''K = abc/8σ''<sup>''2''</sup>，如果''PUX''和''ABC'' [[定向 (几何)|定向]]相同，定向相反则''K = - abc/8σ''<sup>''2''</sup>。

许多[[三次曲线]]用三线容易表示。比如，中枢自等共轭三次曲线''Z（U,P）''，作为点''X''的轨迹使得''X''的''P''-等共轭点位于直线''UX''上，由行列式方程

:<math> \begin{bmatrix}x&y&z\\
qryz&rpzx&pqxy\\u&v&w\end{bmatrix} = 0</math>

确定。一些有名的三次曲线''Z（U,P）''：

: Thomson三次曲线：''Z（X（2）,X (1))''，这里''X (2) = ''[[重心]]，''X (1) = ''[[内心]]
: Feuerbach三次曲线：''Z（X（5）,X (1))''，这里''X (5) = ''[[费尔巴哈点]]
: Darboux三次曲线：''Z（X（20）,X (1))''，这里''X (20) = ''{{tsl|en|De Longchamps point|De Longchamps点}}
: Neuberg三次曲线：''Z（X（30）,X (1))''，这里''X (30) = ''[[欧拉无穷远点]]

== 坐标变换 ==
一点具有三线''α'' : ''β'' : ''γ''，则重心坐标为''aα'' : ''bβ'' : ''cγ''，这里''a'', ''b'', ''c''是三角形三条边长。相反地，重心坐标为''α'' : ''β'' : ''γ''的点有三线''α/a'' : ''β/b'' : ''γ/c''。

三线坐标和2维[[笛卡尔坐标]]之间存在转换公式。给定一个参考三角形''ABC''，将[[頂點 (幾何)|顶点]]''B''的位置表示成一个笛卡尔坐标的有序组，将其代数地写成一个以顶点''C''为起点的[[向量]]<u>''a''</u>。类似地定义顶点''A''为<u>b</u>。然后任何点''P''关于参考三角形''ABC''能定义一个2维笛卡尔坐标系，写成向量<u>''p''</u> = α<u>''a''</u> + β<u>''b''</u>。如果点''P''有三线坐标''x:y:z''，那么变换公式是：

: <math>x:y:z =  \frac{\beta}{a} : \frac{\alpha}{b} : \frac{1 - \alpha - \beta}{c} ,</math>

反过来，

: <math>\alpha = \frac{by}{ax + by + cz},\, \beta = \frac{ax}{ax + by + cz}.</math>

== 外部链接 ==

*[http://mathworld.wolfram.com/TrilinearCoordinates.html 三线坐标]{{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/TrilinearCoordinates.html |date=20181103112426 }}[[Mathworld]]
*[https://web.archive.org/web/20120419171900/http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html 三角形特殊点百科- ETC] Clark Kimberling；包含三角形中3200多个特殊点的三线坐标（以及重心坐标）。

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[[Category:三角形几何]]
[[Category:坐标系]]