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[[File:Hypersphere_coord.gif|right|frame|超球面（hypersphere）的平行線（parallels）（紅色）、 [[子午線]]（meridians）（藍色）以及超子午線（hypermeridians）（綠色）的[[立體投影|立體投影法]]（Stereographic projection）。
因為立體投影法的[[共形]]特性，這些曲線彼此在交點上彼此正交（圖中黃色點），如同在四維空間中一樣。所有曲線都是圓；交會在<0,0,0,1>的曲線具有無限大的半徑（亦即：直線）。]]

[[數學]]中，'''三維球面'''（英文常寫作'''3-sphere'''）是[[球面]]在高維空間中的類比客體。它由四維[[歐幾里得空間]]中與一固定中心點等距離的所有點所組成。尋常的球面（或者說[[二維球面]]）是一個二維[[表面]]，而三維球面是一個具有三個[[維度]]的幾何客體，這樣的幾何客體都可以歸類為[[三維流形]]（3-manifold）。

三維球面也稱作[[超球面]]（hypersphere），雖然這個辭彙可以更廣義地代表任何''n''維球面，而''n'' ≥ 3。

== 定義 ==
以[[座標]]表示，三維球面具有中心（''C''<sub>0</sub>,&nbsp;''C''<sub>1</sub>,&nbsp;''C''<sub>2</sub>,&nbsp;''C''<sub>3</sub>）及半徑''r'' 乃在'''R'''<sup>4</sup>符合條件
:<math>\sum_{i=0}^3(x_i - C_i)^2 = ( x_0 - C_0 )^2 + ( x_1 - C_1 )^2 + ( x_2 - C_2 )^2+ ( x_3 - C_3 )^2 = r^2 \,</math>
的所有點的[[集合 (数学)|集合]]：
（''x''<sub>0</sub>,&nbsp;''x''<sub>1</sub>,&nbsp;''x''<sub>2</sub>,&nbsp;''x''<sub>3</sub>）。 

三維球面球心在原點，而半徑是1的稱為'''單位三維球面'''(unit 3-sphere)，常寫作''S''<sup>3</sup>：

:<math>S^3 = \left\{(x_0,x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^4 : x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 1\right\}</math>。

方便性上，常將'''R'''<sup>4</sup>另外以[[复数 (数学)|複數]]'''C'''<sup>2</sup>或[[四元數]](quaternions)'''H'''等價表示。單位三維球面則可寫為

:<math>S^3 = \left\{(z_1,z_2)\in\mathbb{C}^2 : |z_1|^2 + |z_2|^2 = 1\right\}</math>
或
:<math>S^3 = \left\{q\in\mathbb{H} : |q| = 1\right\}</math>。

最後一個表示法常是最有用的。其將三維球面描述為所有'''單位四元數'''（[[絕對值]]為1的四元數）的集合。正如同所有單位複數的集合在[[複數幾何]]是重要的，所有單位四元數的集合在四元數幾何中也是重要的。

== 外部連結 ==
* {{en}}{{MathWorld | urlname=Hypersphere | title=Hypersphere}} 
: 注意：此篇文章使用了''n''維空間的球面，稱作''n''維球面（''n''-sphere）。


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