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在[[数学]]中，'''三次互反律'''是关于[[模代数]]中两个对应的[[三次方程]]的可解性之间的关系的结论和[[定理]]。

== 相关术语 ==

三次互反律最常使用[[艾森斯坦整数]]进行表述。[[艾森斯坦整数]]是指由形如 <math>a + b\,\omega</math> 的[[复数 (数学)|复数]]组成的环，记作 <math>\mathbb{E}</math>。其中 <math>a</math> 和 <math>b</math> 是整数，<math>\omega</math> 为三次[[单位根]]： 
:<math>\omega = \frac{1}{2}(-1 + i\sqrt 3) = e^{2\pi i/3}</math>

== 定理 ==
如果 <math>\pi</math> 是<math>\mathbb{E}</math>中[[范数 (域论)|范数]]为 <math>P</math> 的一个 [[艾森斯坦素数|素数]]。<math>\alpha</math> 与 <math>\pi</math> [[互素]]。定义[[高次剩余|三次剩余]]符号<math>\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_3</math> 为一个三次单位根，并满足
:<math>\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_3 \ \equiv\ \alpha^{(P-1)/3}  \mod \pi.</math>
再定义“原初”素数是模<math>3</math>同余于<math>-1</math>的素数。由于每个素数在乘以<math>\mathbb{E}</math>中的一个[[单位元]]后都会成为“原初”素数，因此关于“原初”素数的定律仍具有普遍性。这时，三次互反律说明，对两个不同的“原初”素数 <math>\pi</math> 和 <math>\theta</math>，有 
:<math> \left(\frac{\pi}{\theta}\right)_3 = \left(\frac{\theta}{\pi}\right)_3</math>

此外有辅助定理：如果 <math>\pi = -1 + 3(m+n\omega)</math> 那么：
:<math> \left(\frac{\omega}{\pi}\right)_3 = \omega^{m+n}</math>
:<math> \left(\frac{1-\omega}{\pi}\right)_3 = \omega^{2m}</math>。

由于
:<math> \left(\frac{\theta\phi}{\pi}\right)_3 = \left(\frac{\theta}{\pi}\right)_3 \left(\frac{\phi}{\pi}\right)_3</math>
因此可以计算任意艾森斯坦整数的三次剩余。

== 参见 ==
*[[二次互反律]]
*[[阿廷互反律]]

== 参考来源 ==
* David A. Cox, ''Primes of the form <math>x^2+ny^2</math>'', Wiley, 1989, ISBN 0-471-50654-0.
* K. Ireland and M. Rosen, ''A classical introduction to modern number theory'', 2nd ed, Graduate Texts in Mathematics '''84''', Springer-Verlag, 1990.
* Franz Lemmermeyer, ''Reciprocity laws: From Euler to Eisenstein'', Springer Verlag, 2000, ISBN 3-540-66957-4.

== 外部链接 ==
* [https://web.archive.org/web/20070714113319/http://planetmath.org/encyclopedia/CubicReciprocityLaw.html planetmath上的资料]

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[[Category:数论定理]]