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在[[線性代數]]中，一個三對角矩陣是[[矩陣]]的一種，它“幾乎”是一個[[對角矩陣]]。準確來說：一個三對角矩陣的[[非零係數]]在[[主對角線]]上，或比主对角线低一行的对角线上，或比主对角线高一行的对角线上。

例如，下面的是三對角矩陣：
:<math>\begin{pmatrix}
1 & 4 & 0 & 0 \\
3 & 4 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 0 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}</math>
由三对角矩阵得来的[[行列式]]，也被稱為一个continuant。<ref>{{cite book| author={{le|Thomas Muir (mathematician)|Thomas Muir (mathematician)|Thomas Muir}}| title=A treatise on the theory of determinants | date=1960 | publisher={{le|Dover Publications}}| pages=516-525 }}</ref>

== 性质 ==
三对角矩阵是[[海森堡矩阵]]。尽管一般的三对角矩阵不一定是[[对称矩阵|对称]]或[[埃尔米特矩阵]]，许多解线性代数问题时出现的矩阵却往往有这些性质。进一步如果一个实三对角矩阵 ''A'' 满足 ''a''<sub>''k'',''k''+1</sub> ''a''<sub>''k''+1,''k''</sub> > 0，所以它元素的符号都为正，从而[[相似]]于一个埃尔米特矩阵，这样[[特征值]]都是实数。后一个推论如果我们将条件 ''a''<sub>''k'',''k''+1</sub> ''a''<sub>''k''+1,''k''</sub> > 0 换为 ''a''<sub>''k'',''k''+1</sub> ''a''<sub>''k''+1,''k''</sub> ≥ 0，结论仍然成立。

所有 ''n'' × ''n'' 三对角矩阵的[[集合 (数学)|集合]]组成一个 ''3n-2'' 维[[向量空间]]。

许多线性代数[[算法]]应用于对角矩阵时所需[[计算复杂度理论|计算量]]特别少，这种改进也经常被三对角矩阵继承。譬如，一个 n 阶三对角矩阵 ''A'' 的[[行列式]]能用{{le|Continuant (mathematics)|Continuant (mathematics)|continuant}}的[[递归]]公式计算：

:<math> \det A = a_{n,n} \det \, [A]_{\{1,\ldots,n-1\}} - a_{n,n-1} a_{n-1,n} \det \, [A]_{\{1,\ldots,n-2\}} \, ,\, </math>
这里 <math>\det [A]_{\{1,\ldots,k\}}</math> 是第 ''k'' 个主[[子式和余子式|子式]]，即 <math>[A]_{\{1,\ldots,k\}}</math> 是由 ''A'' 最开始的 ''k'' 行 ''k'' 列组成的子矩阵。用此方法计算三对角矩阵所需计算量是线性 ''n'' ，然而对于一般的矩阵复杂度是 n 的 3 次方。

== 计算程序 ==
一个将一般矩阵变成海森堡型的变换，将厄密特矩阵变成三对角矩阵。从而，许多[[特征值算法]]运用到厄密特矩阵上，第一步将输入的厄密特矩阵变成三对角矩阵。

一个三对角矩阵利用特定的[[矩阵表示|存储方案]]比一般矩阵所用的存储空间也少得多。例如，[[LAPACK]] [[Fortran]]包将一个 ''n''-维非对称三对角矩阵存为三个 1-维数列，其中一个长 ''n'' 包含对角元素，其它两个长为 ''n''− 1 包含下对角线和上对角线元素。

三对角矩阵方程 <math>A x = b,\, b\in \reals^n</math>，能用一种需要 ''O(n)''次操作的[[三对角矩阵算法|特殊的算法]]解出来（Golub and Van Loan）。

== 參考文獻 ==
<references/>
* Roger A. Horn and Charles R. Johnson, ''矩陣分析，'' 劍橋大學出版社，1985. ISBN 0-521-38632-2.
* Gene H. Golub and Charles F. Van Loan, ''矩陣計算(3rd),'' 美國約翰霍普金斯大學., 1996. ISBN 0-8018-5414-8.
* Bianca Beatriz Banagudos, Katherine Guerrero, and Donna Fe Gagaracruz, ''Mathematics 數學新世紀'' Regional Science High School for R-IX, 2008-2009, IV-Quisumbing. ISBN 0-12-345678-9.

[[Category:矩陣]]