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三分之一角公式，為[[三角恆等式]]的一種，是[[三等分角]]問題在[[代數]]上的一個解。由於該解不一定是[[規矩數]]因此也可以證明[[三等分角]]尺規作圖的不可行性<ref name="Warner">{{cite book|author=Warner|title=''Modern algebra''|url=https://archive.org/details/modernalgebra0000warn_r8y1|year=1990|publisher=Courier Dover Publications|language=en|isbn=9780486663418}}</ref> 。

== 尺規作圖 ==
尺規作圖三等分角已被證實不可行，其也與三分之一角公式非規矩數的推導有關，其證明如下：設可以用尺規作圖將任意角三等分，代表對任意角度是<math>\theta</math>的角，均可以由尺規作圖得到 角度为<math>\frac{\theta}{3}</math>的角。这等价于说在已知单位长度和<math>\cos{\theta}</math>的时候能做出<math>\cos{\frac{\theta}{3}}</math>的长度。设{{math|L}}是包含了<math>\cos{\theta}</math>和单位长度1的域。用尺规作图可以得到<math>z = \cos{\frac{\theta}{3}}</math>，说明域扩张的阶数是2的幂次：
:<math>[ \mathrm{L}(z) : \mathrm{L} ] = 2^s</math>
然而根據三倍角公式：
:<math>\cos \theta = 4 \cos^3 {\frac{\theta}{3}} -3 \cos {\frac{\theta}{3}} = 4z^3 - 3z</math>。
运用多项式的知识可以证明，<math>z</math>在{{math|L}}中的最小多项式的阶数必定不大于3，也就是说是1，2或者3{{r|Warner|page1=512}}。比如说当角度<math>\theta = 60^\circ</math>时，{{math|L}}就是<math>\mathbb{Q}</math>（<math>\cos{\theta}=\frac12 \in \mathbb{Q}</math>）三倍角公式变成：
:<math>4 z^3 - 3 z = \cos{60^\circ} = \frac{1}{2}</math>，即是：
:<math>8 z^3 - 6 z - 1 = 0</math>
这个多项式不可约，所以这个方程的解不属于有理数集<math>\mathbb{Q}</math>，所以可以证明<math>[\mathbb{Q}(z) : \mathbb{Q}] = 3</math>。<ref name="clj">{{cite web|author=曹亮吉|title=《三等分任意角可能吗？》|url=http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_09_04_1/index.html|work=原載於科學月刊第九卷第四期|publisher=http://episte.math.ntu.edu.tw|accessdate=2013-05-28|archive-date=2014-06-23|archive-url=https://web.archive.org/web/20140623211803/http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_09_04_1/index.html|dead-url=no}}</ref>然而3不是2的幂次，这和之前的结论矛盾。如此便说明，無法用尺規作圖將任意角三等分{{r|Warner|page1=525-526}}。<math>\Box</math>

而上述三次方程透過[[三次方程#三次方程解法|三次方程求根公式]]<ref>{{Citation
 |first= Lucye
 |last= Guilbeau
 |year= 1930
 |title= The History of the Solution of the Cubic Equation
 |journal= Mathematics News Letter
 |volume= 5
 |issue= 4
 |pages= 8&ndash;12
 |doi=10.2307/3027812
 |jstor= 3027812}}</ref>求出來的解即為三分之一角公式。

==公式==
*利用[[三倍角公式]]
*<math>\sin 3\theta = 3 \sin \theta- 4 \sin^3\theta \,</math>
*<math>\cos 3\theta = 4 \cos^3\theta - 3 \cos \theta \,</math>
把它改為：
*<math>\sin \theta = 3\sin\frac{\theta}{3}- 4\sin^3\frac{1}{3}\theta\,</math>
*<math>\cos \theta = 4\cos^3\frac{\theta}{3} - 3\cos\frac{1}{3}\theta\,</math>
把<math>\cos \frac{\theta}{3}\,</math>當成未知數，<math>\cos \theta \,</math>當成常數項，解[[三次方程|一元三次方程式]]即可求出
*<math>x_1=\frac{1}{2 \sqrt[3]{-\sin\theta +\sqrt{\sin^2\theta -1}}} + \frac{\sqrt[3]{-\sin\theta +\sqrt{\sin^2\theta -1}}}{2}\,</math>
*<math>x_2= - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4 \sqrt[3]{-\sin \theta + \sqrt{\sin^2\theta -1}}} - \frac{(1 - i \sqrt{3}) \sqrt[3]{-\sin \theta + \sqrt{\sin^2\theta -1}}}{4}\,</math>
*<math>x_3= - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4 \sqrt[3]{-\sin \theta + \sqrt{\sin^2\theta -1}}} - \frac{(1 + i \sqrt{3}) \sqrt[3]{-\sin \theta + \sqrt{\sin^2\theta -1}}}{4}\,</math>
*當-90°≤<math>\theta \,</math>≤90°時<math>\sin \frac{1}{3}\theta =x_3= - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4 \sqrt[3]{-\sin \theta + \sqrt{\sin^2\theta -1}}} - \frac{(1 + i \sqrt{3}) \sqrt[3]{-\sin \theta + \sqrt{\sin^2\theta -1}}}{4}\,</math>
*當90°≤<math>\theta \,</math>≤450°時<math>\sin \frac{1}{3}\theta =x_1= \frac{1}{2 \sqrt[3]{-\sin \theta + \sqrt{\sin^2\theta -1}}} + \frac{ \sqrt[3]{-\sin \theta + \sqrt{\sin^2\theta -1}}}{2}\,</math>
*當450°≤<math>\theta \,</math>≤630°時<math>\sin \frac{1}{3}\theta =x_3= - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4 \sqrt[3]{-\sin \theta + \sqrt{\sin^2\theta -1}}} - \frac{(1 + i \sqrt{3}) \sqrt[3]{-\sin \theta + \sqrt{\sin^2\theta -1}}}{4}\,</math>
*當630°≤<math>\theta \,</math>≤990°時<math>\sin \frac{1}{3}\theta =x_2= - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4 \sqrt[3]{-\sin \theta + \sqrt{\sin^2\theta -1}}} - \frac{(1 - i \sqrt{3}) \sqrt[3]{-\sin \theta + \sqrt{\sin^2\theta -1}}}{4}\,</math>

== 簡化 ==
利用[[欧拉公式]]可以有效地簡化三分之一角公式
:<math>\cos\frac{\theta}{n} = \Re\left(\sqrt[n]{\cos\theta+i\sin\theta}\right) = \frac{1}{2}\left(\sqrt[n]{\cos\theta+i\sin\theta}+\sqrt[n]{\cos\theta-i\sin\theta}\right)</math>
:<math>\sin\frac{\theta}{n} = \Im\left(\sqrt[n]{\cos\theta+i\sin\theta}\right) = \frac{1}{2i}\left(\sqrt[n]{\cos\theta+i\sin\theta}-\sqrt[n]{\cos\theta-i\sin\theta}\right)</math>
:所以
:<math>\cos\frac{\theta}{3}=\frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{\cos\theta+i\sin\theta}+\sqrt[3]{\cos\theta-i\sin\theta}\right)</math>
:<math>\sin\frac{\theta}{3}=\frac{1}{2i}\left(\sqrt[3]{\cos\theta+i\sin\theta}-\sqrt[3]{\cos\theta-i\sin\theta}\right)</math>

== 參見 ==
*[[三等分角]]
== 參考文獻 ==
{{reflist}}

{{三角函數}}
[[Category:数学恒等式]]
[[Category:三角学]]