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{{not|畢氏三元數}}
'''三元数'''（英語：{{lang|en|Trionion}}<ref>{{Citation
|author = O'Neill, Christopher
|date = 2020-12
|url = https://www.researchgate.net/figure/An-example-of-a-real-number-valued-Trionion-matrix_fig7_347495967
|title = Dimensional Gate Quaternion Multiplication, Quarks & Polyhedra
|doi = 10.13140/RG.2.2.22968.57601/1
|accessdate = 2022-05-28
|archive-date = 2022-06-22
|archive-url = https://web.archive.org/web/20220622154429/https://www.researchgate.net/figure/An-example-of-a-real-number-valued-Trionion-matrix_fig7_347495967
|dead-url = no
}}</ref>）是指建立在实数域上的三维代数系統。這種代數系統無法被良好構建，因此這個代數系統並未有一個廣泛被接受的定義模式。一般而言，通常會稱三元數不存在<ref name="kmakoto.sci.ibaraki.ac.jp">{{cite web|url=http://kmakoto.sci.ibaraki.ac.jp/OC2019.pdf|title=複素数と四元数|author=木村 真琴|date=2019-07-27|website=kmakoto.sci.ibaraki.ac.jp|access-date=2022-05-28|archive-date=2020-12-18|archive-url=https://web.archive.org/web/20201218110240/http://kmakoto.sci.ibaraki.ac.jp/OC2019.pdf|dead-url=no}}</ref>。這是因為三元数的乘法运算不满足群的规则，<ref name="夏新念2004三元数及其在实数域上三维代数">{{Cite journal
  |title=三元数及其在实数域上三维代数
  |author=夏新念
  |journal=武汉化工学院学报
  |volume=26
  |number=2
  |pages=80-82
  |doi=10.3969/j.issn.1674-2869.2004.02.024
  |year=2004}}</ref>也無法滿足可除代數的要求<ref name="王诗杰2004三元数概要">{{Cite journal
  |title=三元数概要
  |author=王诗杰
  |journal=扬州教育学院学报
  |volume=22
  |number=3
  |pages=10-13
  |doi=10.3969/j.issn.1008-6536.2004.03.003
  |year=2004}}</ref>。部分文獻針對這樣的問題定義了許多種不同的模式來規避這個問題。

部分文獻會將三元數與四元數一同探討，因為[[四元數]]是在探尋三元數的過程中發現的。<ref name="曹则贤49学得浅碎不如无"/><ref name="hooktail.sub.jp"/><ref name="王俊龙2010複数的三元数研究"/>

{{Anchor|六元數}}雖然三维代数系統無法被良好構建，而有研究指出六维代数系統則有機會被構建，即六元數（{{lang|en|Sextonion}}）。<ref name="article WESTBURY_2006">{{cite journal
	|doi = 10.1112/s0024610706022605
	|url = https://doi.org/10.1112%2Fs0024610706022605
	|date = 2006-04
	|publisher = Wiley
	|volume = 73
	|number = 02
	|pages = 455-474
	|author = Bruce W. Westbury
	|title = Sextonions and the Magic Square
	|journal = Journal of the London Mathematical Society}}</ref><ref name="article LANDSBERG2006143">{{cite journal
	|title = The sextonions and <math>E_{7\tfrac{1}{2}}</math>
	|journal = Advances in Mathematics
	|volume = 201
	|number = 1
	|pages = 143-179
	|year = 2006
	|issn = 0001-8708
	|doi = 10.1016/j.aim.2005.02.001
	|url = https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0001870805000368
	|author1 = J.M. Landsberg
	|author2 = L. Manivel}}</ref>

== 歷史 ==
三元数最早在哈密頓描述四元數時被提及<ref name="SeeHazewinkel">{{cite book |author-link=Michiel Hazewinkel |first1=Michiel |last1=Hazewinkel |first2=Nadiya |last2=Gubareni |first3=Vladimir V. |last3=Kirichenko |title=Algebras, rings and modules |publisher=Springer |year=2004 |isbn=1-4020-2690-0 |volume=1 |url=https://books.google.com/books?id=AibpdVNkFDYC |page=[https://books.google.com/books?id=AibpdVNkFDYC&pg=PA12 12] |access-date=2022-05-24 |archive-date=2022-06-11 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220611062155/https://books.google.com/books?id=AibpdVNkFDYC |dead-url=no }}</ref>。漢密爾頓知道複數可以解釋為平面上的點，他正在尋找一種方法來對三維空間中的點做同樣的事情<ref>{{cite web | url = https://trend.wanfangdata.com.cn/themeBootPage/explainAndstatistics.do?themeWord=%E4%B8%89%E5%85%83%E6%95%B0 | title = 三元數 | publisher = 萬方數據知識服務平臺 | access-date = 2022-05-28 | archive-date = 2022-06-22 | archive-url = https://web.archive.org/web/20220622154411/https://trend.wanfangdata.com.cn/themeBootPage/explainAndstatistics.do?themeWord=%E4%B8%89%E5%85%83%E6%95%B0 | dead-url = no }}</ref>，即找尋三元數<ref name="hooktail.sub.jp">{{Cite web | url=http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/SevenDCrossProd/ | title=七次元の外積 | publisher=hooktail.sub.jp | author=Joh | date=2006-07-15 | access-date=2022-05-28 | archive-date=2022-06-11 | archive-url=https://web.archive.org/web/20220611004413/http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/SevenDCrossProd/ | dead-url=no }}</ref>，因為當時認為發現三元數能對數學、物理等領域能有一定的貢獻。<ref>{{cite book | title=複素ベクトルと三元数|author=眞鍋 克裕 | date=2010-11-25 | publisher=ブイツーソリューション|isbn= 978-4434150470}}</ref>然而經過了反覆嘗試，最後無法解決三元数在乘法與除法上的問題<ref>{{cite web | url=https://sa.ylib.com/MagArticle.aspx?id=1781 | title=八元數解開宇宙維度 | date=2011-05-26 | quote=漢米爾頓嘗試了非常多年，想要發明更大的三元數(a,b,c)代數系統......漢米爾頓在尋找的是一個可以做加、減、乘、除的三維數系，其中的難處在於除法 | publisher=科學人 | access-date=2022-06-16 | archive-date=2022-06-21 | archive-url=https://web.archive.org/web/20220621014534/https://sa.ylib.com/MagArticle.aspx?id=1781 | dead-url=no }}</ref>，反而是導致了[[四元數]]的發現。<ref name="王俊龙2010複数的三元数研究">{{cite journal
  |title=複数的三元数研究
  |url=http://journal.xynu.edu.cn/fileXYSFXYXB/journal/article/xysfxyxb/2010/4/PDF/20101202011135990.pdf
  |author=王俊龙
  |journal=信阳师范学院学报 (自然科学版)
  |volume=23
  |issue=4
  |pages=630-631
  |doi=10.3969/j.issn.1003-0972.2010.04.039
  |year=2010
  |access-date=2022-05-28
  |archive-date=2022-06-21
  |archive-url=https://web.archive.org/web/20220621013558/http://journal.xynu.edu.cn/fileXYSFXYXB/journal/article/xysfxyxb/2010/4/PDF/20101202011135990.pdf
  |dead-url=no
  }}</ref>

== 概述 ==
一般的複數由2個單位元素組成，分別是1和{{math|''i''}}，其中{{math|''i''}}定義為<math>i^2=-1</math>，而複數集則定義為<math>a+bi</math>。而複數域的乘法定義是良好的，亦即任兩個複數相乘後的結果仍為複數，同時複數能表達二維平面上的點。而將此概念擴展到三維空間的話，即加入一個單位元素{{math|''j''}}，並定義<math>j^2=-1</math>，同時<math>i\neq j</math>，而三元數集則定義為<math>a+bi+cj</math>。但在定義這種數系的乘法時會出現一個問題，當{{math|''i''}}與{{math|''j''}}相乘時會出現<math>ij</math>或<math>ji</math>項，這是一個新的元素，並未落在原有定義的<math>a+bi+cj</math>中，而使得這樣的定義方式無法使其滿足群的規則。<ref name="曹则贤49学得浅碎不如无">{{cite journal
  |title=学得浅碎不如无——四元数, 矢量分析与线性代数关系剖析
  |author=曹则贤
  |journal=物理
  |volume=49
  |issue=10
  |doi=10.7693/wl20201004
  |year=2020
  |pages=680-687}}</ref>

一般而言，定義為<math>a+bi+cj</math>且<math>i\neq j, i^2=j^2=-1</math>的三元數無法存在可由以下過程證明：<ref name="kmakoto.sci.ibaraki.ac.jp"/>
:令<math>ij = a+bi+cj</math>，且{{math|''a''}}、{{math|''b''}}、{{math|''c''}}均為實數，則
:<math>i^2j = ai+bi^2+cij</math>
:<math>-j = -b+ai+c(a+bi+cj)</math>
:<math>-j = -b+ac+(a +bc)i+c^2j</math>
比對兩側{{math|''j''}}的係數得到<math>-1=c^2</math>，與先前{{math|''c''}}為實數的假設矛盾，因此如此定義的三元數無法存在，因為在乘法上會遇到問題，尤其是{{math|''ij''}}的情況。<ref name="kmakoto.sci.ibaraki.ac.jp"/>

各種三元數的研究均針對此點提出自己的三元數定義，例如部分文獻將第二元素和第三元素的積定義為其線性組合來使乘法結果仍在群內<ref name="王俊龙2010複数的三元数研究"/>，部分文獻則重新定義了運算規則來使三元數能夠滿足群的規則。<ref name="夏新念2004三元数及其在实数域上三维代数"/>

例如，將三元數定義為<math>S=a+bi+c\phi</math>，並令<math>i^2=-1</math>、<math>\phi^2=-1</math>、<math>i\phi=i+\phi</math>，如此一來就能定義乘法：<ref name="王俊龙2010複数的三元数研究"/>
:<math>S\times S'=aa'-bb'+(ab'+a'b+bc'+b'c-cc')i+(ac'+a'c+bc'+b'c)\phi</math>
其中<math>S=a+bi+c\phi</math>，<math>S'=a'+b'i+c'\phi</math>。然而，這樣的代數結構的乘法將不具備結合律特性，例如<math>ii\phi</math>的情況：
:<math>(ii)\phi=i^2\phi=-\phi</math>
:<math>i(i\phi)=i(i+\phi)=i^2+i\phi=-1+i+\phi</math>
此時可以看到<math>-\phi\neq-1+i+\phi</math>這代表<math>(ii)\phi\neq i(i\phi)</math>。因此這種方式定義的三元數僅遵循乘法交换律和乘法对加法的分配律。<ref name="王俊龙2010複数的三元数研究"/>

另一種三元數的定義則是將{{math|''ij''}}定義為0。<ref name="三元数函数与解析">{{cite journal
  |title=三元数函数与解析
  |url=http://cnki.sris.com.tw/KCMS/detail/detail.aspx?filename=SXYG201421079&dbcode=CJFD&dbname=CJFN2014
  |author1=白烁星
  |author2=韩江燕
  |journal=数学学习与研究
  |volume=21期
  |year=2014年
  |access-date=2022-06-16
  |archive-date=2022-06-22
  |archive-url=https://web.archive.org/web/20220622081051/http://cnki.sris.com.tw/KCMS/detail/detail.aspx?filename=SXYG201421079&dbcode=CJFD&dbname=CJFN2014
  |dead-url=no
  }}</ref>

== 參見 ==
*[[四元數]]

== 參考文獻 ==
{{Reflist}}

{{數的系統}}

[[Category:超複數]]