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{{NoteTA
|G1 = Math
}}
[[Image:Septic graph.svg|thumb|right|233px|七次函數的圖，有六個[[臨界點 (數學)|臨界點]]]]

'''七次方程'''是可以用下式表示的[[方程]]

:<math>ax^7+bx^6+cx^5+dx^4+ex^3+fx^2+gx+h=0,\,</math>

其中 a≠0。

而'''七次函數'''是可以用下式表示的[[函數]]：

:<math>f(x)=ax^7+bx^6+cx^5+dx^4+ex^3+fx^2+gx+h\,</math>

其中 a≠0。換句話說，七次函數也就是階數為 7 的[[多項式]]，若 a=0，則多項式最多只為是[[六次方程|六次函數]]。

若將令七次函數 <math>f(x)=0</math>，即可得到七次方程。

七次方程的係數 a, b, c, d, e, f, g, h 可以是[[整數]]、[[有理數]]、[[复数 (数学)|複數]]或是任何一種[[體 (數學)|-{zh-cn:域; zh-tw:體;}-]]的元素。

因為七次函數的階數為奇數，所以它的函數圖形類似[[三次方程|三次函數]]及[[五次方程|五次函數]]，不過可能會有更多的局部極大值與局部極小值。事實上，七次函數至多有三個局部極大值與三個局部極小值，因為其[[導數]]為[[六次方程]]。

==七次方程求根==
只有少部分的七次方程的根可以由係數的四則運算與[[根號]]表示，大部分的七次方程都不行。[[埃瓦里斯特·伽罗瓦]]發現了一個方法可以判斷一條七次方程能否通過四則運算及開根號等運算求出其根，並且同時創立了[[伽羅瓦理論]]。我們可以藉由推廣[[亞伯拉罕·棣莫弗]][[五次方程]]得到一個不可約但可解的七次方程。例如

:<math>x^7+7ax^5+14a^2x^3+7a^3x+b = 0\ </math>

其輔助方程為 <math>y^2+by-a^7 = 0\,</math>

設 <math>x=u+v </math>、 <math>uv+a=0 </math>，則以上方程化簡為 <math>u^7+v^7+b=0 </math>。故 <math>u^7 </math>、<math>v^7 </math> 皆為輔助方程的根。

所以，該七次方程的七個根<math>x_k</math>為

<math>x_k = \omega_k\sqrt[7]{y_1} + \omega_k^6\sqrt[7]{y_2}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>(k=1,2,\dots,7)</math>

在此，<math> \omega_k </math>是 1 的七次[[單位根]]，<math> y_1 , y_2 </math> 是輔助方程中 <math>y</math> 兩個根。

這個構造不可約的可解方程式的方法可以被推廣到 k 次多項式，k 是正整數。

此外 Kluner 在 Database of Number Fields 給出的另外一個例子是

: <math> x^7-2x^6+(a+1)x^5+(a-1)x^4-ax^3-(a+5)x^2-6x-4=0 </math>

它的判別式是

:<math>{d = -4^4(4a^3+99a^2-34a+467)^3}</math>

注意到當 d = −467 時有[[類數]] h(d) = 7。而這類七次方程的[[伽羅瓦群]]乃是一個十四階的[[二面體群]]。

有了七階[[交錯群]] <math>A_7</math> 以及七階[[对称群 (n次对称群)|對稱群]] <math>S_7</math>，就可以解所有的七次方程，但是，有些七次方程的根須要[[超橢圓函數]]和相關[[虧格]]為3的[[Θ函數]]。但是因為求解[[六次方程]]的根已達到人腦計算能力的上限，所以一直要到十九世紀計算器問世之後數學家才開始著手研究七次方程的代數解。

低於六次的方程求根都很明顯的可以通過疊加雙變數''連續'' 函數而得，但七次方程的求根就不是直接可以看出來。[[希爾伯特第十三問題]]猜測一般的七次方程是不能通過上述方法解出根的，然而，1957年，苏联数学家[[弗拉基米爾·阿諾爾德]]證明了一般的七次方程仍然可以使用此手段表達其根<ref>{{citation|url=http://books.google.co.uk/books?id=SpTv44Ia-J0C&pg=PA254|title=Kolmogorov's heritage in mathematics|author=Vasco Brattka|chapter=Kolmogorov's Superposition Theorem|publisher=Springer|accessdate=2014-08-12|archive-date=2014-08-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20140813044848/http://books.google.co.uk/books?id=SpTv44Ia-J0C&pg=PA254|dead-url=no}}</ref>。同時，阿諾爾德猜測，七次方程求根可以通過疊加雙變數''代數'' 函數而得，這個問題被視為是真正的希爾伯特問題，並且到目前仍然是未解決的問題<ref>{{citation|url=http://www.pdmi.ras.ru/~arnsem/Arnold/arnlect1.ps.gz|title=From Hilberts Superposition Problem to Dynamical Systems|author=V.I. Arnold|page=4|accessdate=2014-08-12|archive-date=2015-09-24|archive-url=https://web.archive.org/web/20150924070047/http://www.pdmi.ras.ru/~arnsem/Arnold/arnlect1.ps.gz|dead-url=no}}</ref>。

==伽羅瓦群==
[[Image:Fano plane.svg|thumb|[[法諾平面]]]]
*每個可以藉由將其系數加減乘除及開根號求根七次方程的[[伽羅瓦群]]，一定是七階的[[循環群]]、十四階的[[二面體群]]、二十一或四十二階的[[亞循環群]]其中之一。
*圖中包含七條線的[[法諾平面]]的七個頂點[[置換]]組成的168階的[[伽羅瓦群]]L(3, 2)，求解含有此[[伽羅瓦群]]L(3, 2)的七次方程需要使用[[橢圓函數]]，而不是[[超橢圓函數]]。
*除了上述特例之外，七次方程的[[伽羅瓦群]]不是一個2520階的[[交錯群]]，就是一個5040階的[[对称群 (n次对称群)|對稱群]]。

==五邊形與六邊形的面積==
若有一七次方程，其係數為某個[[五邊形]]五個邊的對稱函數，則他的其中一個根是該[[五邊形]]的面積<ref>Weisstein, Eric W. "Cyclic Pentagon." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. [http://mathworld.wolfram.com/CyclicPentagon.html] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/CyclicPentagon.html |date=20131016071154 }}</ref>。此外，[[六邊形]]也可以得到相同的結論<ref>Weisstein, Eric W. "Cyclic Hexagon." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. [http://mathworld.wolfram.com/CyclicHexagon.html] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/CyclicHexagon.html |date=20140708214425 }}</ref>。

==參考文獻==
<references/>

{{多項式}}

[[Category:方程]]
[[Category:伽羅瓦理論]]
[[Category:多項式]]
[[Category:Galois theory]]
[[Category:Polynomials]]